ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ
 

(x+y)/z+(y+z)/x+(z+x)/y ≥ 6

พิสูจให้ดูหน่อยคับ

แถมๆ √(x-√(x-√(x-√(x-999)) ) ) =999 จงหาค่าของ x+999

$x/z+y/z+y/x+z/x+z/y+x/y \geqslant 6 $

โดย $AM-GM$

ข้อ2 เเทน $999$ ด้วย $√(x-√(x-√(x-√(x-999)) ) )$ ใน $999$ ในรูทไปเรื่อยๆ

จะได้ $√(x-√(x-√(x-√(x-...)) ) ) = 999 $

$x-999=999^2$

ข้อ 1. ตามคุณCachy-Schwarz

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\times \frac{y}{z}\times \frac{z}{x}}$

$\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{x}{z}\times \frac{y}{x}\times \frac{z}{y}}$

นำมาบวกกัน Q.E.D.

เข้าใจละคับ ขอบคุณมากๆ

ลอง แทน x = -1 y = 1 z=1 จะได้ว่า (x+y)/z+(y+z)/x+(z+x)/y ไม่มากกว่าหรือเท่ากับ 6

ข้อนี้มีเงื่อนไขที่อาจจะลืมเขียนบอกเอาไว้คือ x, y, z เป็นจำนวนจริงบวกครับ.