ช่วยเอาความโง่ออกจากหัวผมหน่อย PAT1
 

PAT 1 2552 ข้อ 14
กำหนดให้ A = {a | เส้นตรง y = ax ไม่ตัดกราฟ $y^2 = 1 + x^2$}
และ B = {b | เส้นตรง y = x + b ตัดกราฟ $y^2 = 1 - x^2$ สองจุด
เซต {d | $d = c^3$ , c อยู่ใน B - A} เท่ากับช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1. (0 , 1)
2. (0 , 2)
3. (1 , 2)
4. (0 , 4)

รบกวนช่วยผมด้วยครับ จะไปสอนนักเรียนที่โรงเรียน จริงๆ ผมก็ทำได้เกือบหมด แต่มันติดข้อนี้จริงๆ ครับ
อยากตาย กับความโง่ของตัวเอง

หาเซต A โดยการแทน y=ax ลงในสมการ แล้วหาค่า a ที่ทำให้สมการไม่มีคำตอบครับ (กราฟไม่ตัดกัน)
หาเซต B ทำคล้ายๆการหาเซต A โดยใช้ประโยชน์จาก ดิสคริมิแนนท์ครับ

ผมเคยทำวิธีเดียวกับที่คุณ [SIL] บอกครับ แต่เหมือนมันติด เดี๋ยวผมแสดงให้ดูนะครับ

$a^2x^2 = 1 + x^2$

$x^2(a^2 - 1) = 1$

$a^2 = \frac{1}{x^2} + 1$

$a = \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}$

จากตรงนี้จะได้ว่า ค่า a ไม่มีคำตอบเมื่อ a อยู่ใน จำนวนตรรกยะลบและ a เป็นศูนย์

$(x + b)^2 = 1 - x^2$

$2x^2 + 2xb + b^2 - 1 = 0$

จากดิสคริมิแนนท์ จะได้ $4b^2 - (8(b^2 - 1)) \geqslant 0$

นั่นคือ $b \leqslant \mp \sqrt{2}$

ดูช่วง B - A นั่นคือ จะได้ ช่วงของ C คือ $(0 , \sqrt{2})$

แต่จาก $d = c^3$ จะได้ช่วงของ d คือ $(0 , 2\sqrt{2})$

ที่นี้ผมทำมาถึงตรงนี้ มันผิดตรงไหนหรือเปล่าครับ รบกวนผู้รู้ช่วยเอาความโง่ออกจากหัวผมทีครับ

ผมขอทำวิธีผมเองนะครับ อยากช่วยอีกแรง

จากเงื่อนไขเซต A นะครับ

$(ax)^2 = 1+x^2$

$a^2x^2 -x^2 = 1$

$(a^2-1)x^2 -1 = 0$

หาค่า x แบบใช้สูตร $(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a})$

ได้ $x = \frac{-0\pm \sqrt{0-4(-1)(a^2-1)}}{2(a^2-1)}$

แต่โจทย์บอกว่าเส้นสองเส้นไม่ตัดกัน นั่นหมายว่า ใน sqrt นั้นมีค่าน้อยกว่าศูนย์ึครับ จะได้

$4a^2-4< 0$

$4a^2 < 4$

$a^2 < 1$

$\therefore a \in (-1,1)$

สำหรับเซต B ก็ทำคล้ายๆกันครับ เพียงแต่ ใต้ sqrt นั้นมีค่ามากกว่า 0

หวังว่าคงช่วยได้ ไม่มากก็น้อยครับ ^^

ทำทีแรกผมก็ได้อย่างคุณ ครูนะ ครับแต่คิดว่าตนเองสะเพร่าเลยเสนอแนวคิดไว้เท่านั้นเอง :sweat: ปัญหาคือ เจ้า b นี่แหละครับ :aah:

กราฟ $y^2 = 1 + x^2$ เป็นรูปไฮเปอร์โบลา มีสมการเส้นกำกับคือ $y = \pm x$

$y = ax $ไม่ตัดกราฟ ดังนั้น $-1\leqslant a\leqslant 1 $จะได้ A = [-1 , 1]

กราฟ $y^2 = 1 - x^2$ เป็นวงกลม ศูนย์กลาง (0,0) รัศมีเท่ากับ 1

เส้นตรง $y = x +b$ ที่ตัดวงกลม 2 จุด จะอยู่ระหว่างเส้นขนาน 2 เส้นซึ่งห่า่งจากเส้นตรง y = x อยู่ 1 หน่วย

สมการเส้นตรงที่ขนานและห่างจากเส้นตรง y = x อยู่ 1 หน่วย คือ $y = x \pm \sqrt{2}$

ได้$-\sqrt{2} < b<\sqrt{2}$ ดังนั้น B = $ (-\sqrt{2} , \sqrt{2})$

B-A =$ (-\sqrt{2} ,-1) \cup (1, \sqrt{2})$

เซต {d | $d = c^2$ , c อยู่ใน B - A}=$(1 , 2)$

:D:D:D

ถ้าเป็นข้อสอบ PAT1 1-2552 ลองดูที่กระทู้นี้อาจช่วยได้ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=7366&page=2

ขอบคุณมากครับ