อินทิเกรต
 

พอดีตอนนี้ผมศึกษาเรื่องอินทริเกรตอยู่ อยากให้ช่วย อินทริเกรต 2 ข้อนี้ให้หน่อยครับ

$\int\frac{2y^3 + 3y^2 +2y}{y^2 + 1}\,dx $

อีกข้อคิดได้ แต่ไม่ตรงกับเฉลยครับ $\int(secx + tanx)^2 dx$ รบกวนด้วยครับ

ข้อ 2 ผมได้ $2(tanx+secx)-x+C$ อ่ะครับ ไม่รู้ว่าตรงกับเฉลยมั้ย เพราะมันยังสามารถเปลี่ยนรูปได้อีก
ส่วนข้อแรกยังงงๆอยู่ครับ อินทิเกรตฟังก์ชัน y แต่เทียบ x ได้ด้วยเหรอครับ

$\dfrac{2y^3 + 3y^2 +2y}{y^2 + 1}=2y+3-\dfrac{3}{y^2+1}$

ใช้สูตรกับแต่ละเทอมก็ได้แล้วครับ

$(\sec{x}+\tan{x})^2=\sec^2{x}+\tan^2{x}+2\sec{x}\tan{x}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\sec^2{x}-1+\dfrac{2\sin{x}}{\cos^2{x}}$

สองเทอมแรกใช้สูตร เทอมหลังสุดใช้การแทนค่าตัวแปร $u=\cos{x}$

แต่ข้อหลังนี้คิดได้ไม่ตรงกับเฉลยก็อย่าเพิ่งตกใจครับเพราะฟังก์ชันตรีโกณสามารถมีได้หลายแบบ

ขอโทษครับ พอดีพิมผิดไป ข้อแรกเทียบกับ y ครับ

ขอถามคุณ nooonuii ด้วยครับ ถ้าคำตอบไม่ตรงแล้ว ใ้ช้การจัดรูปมันจะได้เท่ากับคำตอบอื่นไหมครับ

คำตอบของอินทิกรัลไม่จำกัดเขตจะต่างกันด้วยค่าคงที่ครับ

ถ้า $F_1,F_2$ เป็นคำตอบแล้ว $F_1-F_2=$ ค่าคงที่

ถ้าอยากรู้ว่าคำตอบของเราถูกหรือเปล่า ก็ลองเอาคำตอบที่ได้ไปลบกับคำตอบในเฉลย

ถ้าจัดรูปแล้วได้ค่าคงที่ก็แสดงว่าคำตอบเราถูกครับ

ขอถามเพิ่มด้วยครับ

1.$\int\frac{2x+3}{\sqrt{4-9x^2}}dx$

2.$\int sin^3tcos^3tdt$

แต่ผมอินทริเกรตโดย แปลงเป็น $\frac{sin^{3}2t}{8}$ แล้วก็เปลี่ยนเป็น $\frac{3sin2t - sin6t}{4}$ แล้วอินทริเกรต แต่เฉลยตอบว่า $\frac{sin^{4}t}{4} - \frac{sin^{6}t}{6} + C$ ซึ่งผมพยายามจัดรูปเท่าไหร่ก็ไม่ัได้ค่าคงตัวครับ ขอรบกวนด้วยครับ

ข้อ 2 ในเฉลยน่าจะทำแบบนี้ครับ
ให้ $u=sin^3t$ ดังนั้น $du=3sin^2tcost dt$
$$\int sin^3tcos^3tdt=\int sintcos^2t\cdot sin^2tcost dt$$
$$=\int sint(1-sin^2t)(sin^2tcost)dt$$
$$=\frac{1}{3}\int (\sqrt[3]{u}-u )du$$
$$=\frac{1}{3}[\frac{3}{4}u^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{2}u^2]$$
$$=\frac{sin^4t}{4}-\frac{sin^6t}{6}+C$$

ข้อ 1 ให้ $x=\frac{2}{3}sint$ ครับ

ลองเช็คอีกรอบว่าสองเทอมนี้เท่ากันหรือเปล่าครับ

ถ้าแปลงตามวิธี คุณ tongkub
ผมได้ $\frac{3sin2t-sin6t}{32}$ ครับ
อินทิเกรตแล้วได้ $\frac{1}{32}(-\frac{3}{2}cos2t+\frac{1}{6}cos6t)$ อ่ะครับ

ข้อแรกยังไม่เข้าใจครับ รบกวนขอ hint อีกสัก 2 บรรทัดได้ไหมครับ

สังเกตว่าในโจทย์ มีนิพจน์ $\sqrt{4-9x^2}$ ดังนั้นถ้าเราวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ก็จะได้ดังนี้

Attachment 5609

จากรูป จะเห็นว่า $\sin \theta = \frac{3x}{2} \Rightarrow x = \frac{2}{3}\sin \theta$ ... (1)

ดังนั้น $dx = \frac{2}{3}\cos \theta d \theta$ ...(2)

และ $\cos \theta = \frac{\sqrt{4-9x^2}}{2} \Rightarrow \sqrt{4-9x^2} = 2\cos \theta $ ...(3)

แทนค่า x, dx และ $\sqrt{4-9x^2}$ จากสมการ (1), (2), (3) ลงไปในโจทย์ ก็จะได้อินทิกรัลในตัวแปร $\theta$

ขอบคุณมากครับ มีหลักในการสังเกตอย่างไรครับ ถึงได้คิดค่า $\theta$ ออกมาได้แบบนั้นน่ะครับ

วันนี้มีโจทย์มาถามอีกครับ

$\int\frac{1}{(3x^2 + 1)(\sqrt{(3x^2 + 1) + 1})}dx$

$\int\frac{x}{(3x^2 + 1)(\sqrt{3x^4 + 2x^2})}$

คือเขาให้ใช้ arctan น่ะครับ แต่ผมขนาดรู้แล้วยังอินทริเกรตไม่ได้เลย รบกวนขอวิธีการสังเกตดีๆด้วยนะครับ

ทั้ง 2 ข้อมีค่าเท่ากันทำได้ 2 แบบครับ

จากที่เขาบอก:kaka: ใช้ arctan แต่ผมขอใช้ arcsec นะครับ

ซึ่งเท่าที่ดูคิดว่าใช้ arcsec จะค่อนข้างง่ายกว่า

จะแสดงแบบใช้ arcsec ให้ดูนะครับ

$ให้ u = 3x^2+1 ,x=\sqrt{\frac{u-1}{3}} \rightarrow du=6x=6\sqrt{\frac{u-1}{3}}dx$

$\int\frac{1}{(3x^2 + 1)(\sqrt{(3x^2 + 1) + 1})}dx$

$=\int\frac{1}{u(\sqrt{u + 1})}\frac{du}{6\sqrt{\frac{u-1}{3}}}$

$=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{u(\sqrt{u^2 - 1})}du$

$=\frac{\sqrt{3}}{6}arcsec(\left|\,u\right|)+C$

$=\frac{\sqrt{3}}{6}arcsec(3x^2+1)+C$

และ

ขอพิจารณาว่า $x >0 $

$\int\frac{x}{(3x^2 + 1)(\sqrt{3x^4 + 2x^2})}$

$=\int\frac{x}{(3x^2 + 1)(x\sqrt{3x^2 + 2})}$

$=\int\frac{1}{(3x^2 + 1)(1\sqrt{3x^2 + 2})}$

แล้วทำแบบเดิม

ซึ่ีงถ้าให้เดานะครับเวลาตอบเป็น $arctan$ น่าจะเท่ากับ

$=\frac{\sqrt{3}}{6}arctan(\sqrt{3}x\sqrt{3x^2+2})+C$

ขอบคุณครับ ขอถามเกี่ยวกับ arcsec นิดนึงครับ ว่าถ้าจัด u เป็นให้ค่าสมบูรณ์ไม่ได้ จะอินทริเกรตได้หรือไม่ครับ