โจทย์ PAT1 มีนา 54 ข้อที่น่าสนใจ
 

ขอวิธีทำที่สมบูรณ์แบบด้วยครับ
หมายเหตุ ข้อ 3 ไม่ได้พิมพ์ผิดนะครับ โจทย์เป็นแบบนี้จริงๆ

นี่ PAT จริงๆน่ะหรือ :aah::aah:
ง่วงแล้ว ข้อ 2 ข้อเดียวแล้วกัน
$a_{n+1} \geq a_{n}+1---(1)$
$a_{n+2} \geq a_{n+1}+1---(2)$
$a_{n+3} \geq a_{n+2}+1---(3)$
$a_{n+4} \geq a_{n+3}+1---(4)$
$a_{n+5} \geq a_{n+4}+1---(5)$
Sum up อสมการด้านบนทั้งหมดจะได้
$a_{n+5} \geq a_{n}+5$
แต่
$a_{n}+5\geq a_{n+5}$
ดังนั้น $a_{n+5} = a_{n}+5$
จะได้ $a_6=a_1+5=6$
Sum up $(1),(2),(3),(4)$
แล้ว แทน $n=1$
จะได้ $a_5 \geq a_1+4=5$
แต่ $a_6 \geq a_5+1 \rightarrow 5 \geq a_5$
ดังนั้น $a_5=5$
ไล่แบบนี้ไปเรื่อยๆ จะได้ $a_i=i$ สำหรับ $i=1,2,3,4,5,6$
แต่เรามี $a_n+5=a_{n+5}$ จะได้ $a_n=n$ ทุกจำนวนนับ $n$ ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ

ข้อ 1

$cosx = 2cos^2(\frac{x}{2}) - 1$

= $2(2cos^2(\frac{x}{4}) - 1)^2 - 1 = cos(\frac{x}{4})$

ให้ $cos\frac{x}{4} = A$

$2(2A^2 - 1)^2 - 1 = A$

$ 8A^4 - 8A^2 + 1 = A$

$ 8A^4 - 8A^2 - A + 1 = 0$

$ (A-1)(2A + 1)(4A^2 + 2A - 1) = 0$

$ A = 1 , -\dfrac{1}{2} , \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

ที่เหลือนับเองเลยครับ

ข้อ 1.
$\cos{x}-\cos(\frac{x}{4})=0$
$-2\sin(\frac{5x}{8})\sin(\frac{3x}{8})=0$

กรณีแรก
$\frac{5x}{8}=0,\pi, 2\pi,...,(n-1)\pi : n=1,2,3...$
$x=\frac{8(n-1)\pi}{5}$
$0<\frac{8(n-1)\pi}{5}<24\pi$
$1<n<16 ; n=14$

กรณีที่สอง
$\frac{3x}{8}=0,\pi, 2\pi,...,(n-1)\pi : n=1,2,3...$
$x=\frac{8(n-1)\pi}{3}$
$0<\frac{8(n-1)\pi}{3}<24\pi$
$1<n<10 ; n=8$

ทั้งสองกรณีมีซ้ำกัน 2 ค่าคือ ${8\pi, 16\pi}$

จำนวนสมาชิกจะเท่ากับ 14+8-2 = 20

ช่วยโพสต์ข้อสอบอีกด้วยครับ

ขอวิธีทำ ข้อ 3 หน่อยครับ

ข้อ 3. นั้นโจทย์บกพร่องครับ

จากเงื่อนไขที่ให้มา เราจะได้ว่า $x*y = (3b-5)x^2+by^2+(\frac{8-7b}{2})xy$ , สำหรับทุกจำนวนจริง b

ฉะนั้น $a+2b+3c+4d = \frac{14-11b+8d}{2} ... (*),~~ \forall b \in R $

และจากเงื่อนไข x*d = x สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ แล้วจะได้

$(3b-5)x^2+bd^2+(\frac{8-7b}{2})xd = x , \forall x, b \in R$

จากสมการดังกล่าวจะเห็นได้ชัดว่า

ถ้าค่า b และ x เปลี่ยนแล้ว ค่าของ d ก็เปลี่ยนตามไปด้วย ไม่ได้มีค่าเดียวตายตัว
(ถ้าอยากเห็นขัดกว่านี้ ก็ลองแทนค่าดูแล้วแก้สมการครับ)

ดังนั้นโจทย์จึงบกพร่องครับ.

เพิ่มเติม ตามคำเรียกร้องครับ

ข้อด้านขวา $9 \left|\,\right. 15+b$ แต่ $b \in \left\{\,\right. 0,1,2,....,9\left.\,\right\} $

เพราะฉะนั้น $b= 3$

$639-1a5 = 454$ จะได้ $a = 8$

อีกข้อก็ ให้ $f(x)=ax^2+bx+c$
จาก $f(1)=1$ แทน x=1ใน
$f(2x)=4f(x)+6$ ได้ $f(2)=10$
แทน x=1ใน $f(x+2)=f(x)+12x+12$ ได้ $f(3)=25$
แก้ระบบสมการได้ a=3 ,b=0 , c=-2
$f(x)=3x^2-2$
$f(7)=145$
$f(16)=766$
ตอบ 911

#10
ทำไม $f(x)=ax^2+bx+c$ ละครับ

สำหรับโจทย์ข้อนี้ทำให้ผมมึนไปหลายวันและเริ่มไม่แน่ใจว่าตัวเองทำคณิตม.ปลายได้แค่ไหน เพราะผมลองทำตามเงื่อนไขของค่า $d$ แล้วไปจบที่ว่า$a=0,b=0$
เราได้ว่า
$1\ast d=1=d^2+bd^2+cd$
$2\ast d=2=4d^2+bd^2+2cd$
$3\ast d=3=9d^2+bd^2+9cd$

ได้อ่านความเห็นของคุณgonแล้วก็เห็นไปทางเดียวกันว่าโจทย์น่าจะมีปัญหา
ขอบคุณครับคุณgonที่ช่วยอธิบาย...ผมคาใจมาหลายวันแล้วกับข้อนี้

to ความเห็นที่12
อาจารย์ผมสอนมาอีกทีมันเป็นคุณสมบัติของฟังก์ชันน่ะครับ
ผมเองก็กำลังฝึกทำโจทย์พวกfunctional analysis อยู่น่ะครับ

#14
คุณสมบัติไหน อะไร ยังไง ครับ