|
Practice Test
Practice Test ที่เอาให้น้องศูนย์ มข. ทำครับ
ถ้าใครรู้แหล่งที่มาอย่าพึ่งเอาลงนะครับ เฉลยได้ 1. ให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน $9$ จำนวน ซึ่งทุกจำนวนมีจำนวนเฉพาะที่หารลงตัวได้เพียง $2$ และ $3$ จงพิสูจน์ว่าจะสามารถเลือกจำนวนเต็มที่แตกต่างกันสามจำนวนจาก $S$ ซึ่งทำให้ผลคูณของทั้งสามจำนวนเป็นกำลังสามสมบูรณ์ 2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ เป็นจำนวนเต็ม กำหนดให้ $[r]$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $r$ 3. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง $\angle BAC \neq 90^{\circ}$ ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ และ $\Gamma$ เป็นวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $BOC$ ถ้า $\Gamma$ ตัดส่วนของเส้นตรง $AB$ อีกครั้ง(ที่ไม่ใช่ $B$ ) ที่ $P$ และตัดกับส่วนของเส้นตรง $AC$ อีกครั้ง(ที่ไม่ใช่ $C$ ) ที่ $Q$ ถ้า $ON$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ $\Gamma$ จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม $APNQ$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน 4. ในงานเลี้ยงปีใหม่มีผู้เข้าร่วม $n+1$ คน (หมายเลขตั้งแต่ $1,2,3,...,n+1$ ) กำลังแลกของขวัญ ถ้าไม่มีใครให้ของขวัญคนเดียวกัน และคนหมายเลข $i$ ให้ของขวัญกับคนหมายเลข $x_i$ และเราทราบว่าคนที่หมายเลข $n+1$ ให้ของขวัญกับคนที่หมายเลข $1$, หลังจากแลกของขวัญเสร็จคนที่ $i$ จะได้แต้มเท่ากับ $x_i-i$ จงพิสูจน์ว่าสำหรับ $r \in \mathbb{Z}$, $1 \le r \le n$ จะสามารถเลือกคน $r$ คนซึ่งมีแต้มรวมอย่างน้อย $r$ 5. นิยามลำดับ $(a_n),n \in \mathbb{N}$ ดังนี้ $ \quad a_1=1,a_2=2,a_3=3$ และ $a_n=\dfrac{a_{n-1}a_{n-2}+7}{a_{n-3}}$ . สำหรับ $n \ge 4$ จงพิสูจน์ว่าทุกพจน์ของลำดับนี้เป็นจำนวนเต็ม Sources: 1,2,3 APMO ประมาณปี 2007-2011 ข้อ 1-2, 4 แต่งเอง, 5 unknown |
อ้างอิง:
ดังนั้น $APN=90^\circ+APO=90^\circ+OQA=NQA...(m)$ เเละเนื่องจาก $BPNO$ และ $OCQN$ เป็นสี่เหลี่ยมเเนบในวงกลมดังนั้น $ABO=ONP$ เเละ $ACO=ONQ$ ตามลำดับ พิจารณาสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABO,AOC$ จะได้ $PAQ=BAC=BAO+OAC=ABO+ACO=ONP+ONQ=PNQ...(n)$ จาก $(m),(n)$ ได้ว่า $APNQ$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน |
อ้างอิง:
ให้ $y_1,y_2,...,y_{\binom{n}{r} }$ คือผลรวมของ $r$ คน ทั้ง $\binom{n}{r} $ แบบ (ไม่รวมหมายเลข $n+1$) จะได้ $y_1+y_2+...+y_{\binom{n}{r} } = \binom{n-1}{r-1} (x_1+...+x_n-(1+2+...+n)) = n\binom{n-1}{r-1} = r\binom{n}{r} $ จะได้ว่ามี $y_i \geqslant r$ |
ข้อ 4 วิธีสวยมากครับ
ข้อนี้คาดว่าจะยากสำหรับระดับ TMO อยู่ ตอนนี้เหลือข้อ 1,2 (ไม่ยากขนาดนั้น) แล้วก็ข้อ 5 (ยากอยู่) มาลองทำกันนะครับ (ข้อ 3 ไม่มีอะไรอยู่แล้ว) |
อ้างอิง:
สมมติมี $n$ ที่สอดคล้อง ให้ $n=a^2+i$ โดยที่ $a \in \mathbb{N} $ และ $0\leqslant i\leqslant 2a$ ได้ว่า $a^2\leqslant n<(a+1)^2$ นั่นคือ $[\sqrt{n} ]=a$ $a^2+2\mid (a^2+i)^2+1 = (a^4+2a^2)+((2i-2)a^2+2(2i-2))+(i^2-4i+5)$ ทำให้ $a^2+2\mid (i-2)^2+1$ เนื่องจาก $0\leqslant i\leqslant 2a$ จะได้ว่า $(i-2)^2+1$ ที่เป็นไปได้คือ $a^2+2,2a^2+4,3a^2+6$ กรณี1 $ (i-2)^2+1 = a^2+2$ จะได้ $(i+a-2)(i-a-2) = 1$ ซึ่งจะได้ว่าไม่มี $a,i$ ที่สอดคล้อง กรณี2 $(i-2)^2+1 = 2a^2+4$ เช็ค mod 8 จะได้ว่าไม่มี $a,i$ ที่สอดคล้อง กรณี3 $(i-2)^2+1 = 3a^2+6$ เช็ค mod 3 จะได้ว่าไม่มี $a,i$ ที่สอดคล้อง ดังนั้นไม่มี $n$ ที่สอดคล้อง ข้อไม่ยากของคุณ Thgx0312555 ผมทำเป็นชั่วโมง 5555 |
ข้อสองคิดว่าไอเดียไม่ยากขนาดนั้นนะครับ แต่ต้องมีประสบการณ์นิดหน่อย
แต่ข้อหนึ่งนี่ก็มีความยากอยู่ครับ 555 ปล. ข้อสองถูกแล้วครับ |
ขอ hint ข้อ 1 กับ 5 หน่อยครับ
|
Hint ข้อ 1 จริงๆข้อนี้เป็นข้อที่แยกกรณีถึกๆยังไงก็น่าจะออก
แต่หลักๆคือพิสูจน์ว่าในเซตของมอดุโล $\left\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)\right\}$ ถ้ามีอย่างน้อย 5 ตัวไม่เป็นเซตว่างแล้วจะมีสามตัวคูณกันได้กำลังสามสมบูรณ์ ข้อ 5 พิสูจน์ก่อนว่า $a_{n-3}(a_n+a_{n-2})=a_{n-1}(a_{n-2}+a_{n-4})$ แล้ว induction ว่า $a_{n-1} \mid a_{n}+a_{n-2}$ (อาจจะพ่วงเงื่อนไขอื่นๆลงใน induct เพื่อให้ทำง่ายขึ้นก็ได้ครับ) |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:50 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha