แคลปี1ครับ
 

จงแสดงว่า limxเข้าใกล้1/2 (1/x+1)=2/3 โดยใช้นิยาม เอฟซิลินและ เดลต้า

พิจารณา \[ \left| \frac{1}{x+1} - \frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}\cdot \left| \frac{x-\frac{1}{2}}{x+1} \right| ....(*)\]
เริ่มต้นโดยการลองเลือก $\delta = 1$ จะได้ว่า
\[ |x-\frac{1}{2}| < 1 \Leftrightarrow \frac{2}{5} <\frac{1}{x+1} < 2 \Rightarrow \mid \frac{1}{x+1}\mid < 2 \]
จาก $(*)$ จะได้ว่า \[ \left| \frac{1}{x+1} - \frac{2}{3}\right| < \frac{4}{3} | x-\frac{1}{2}| < \frac{4}{3}\]
ดังนั้นเลือกให้ $\delta = \min \{ 1, \frac{3\epsilon}{4} \}$ จะได้สิ่งที่ต้องการคือ
สำหรับทุกค่า $\epsilon >0$ จะมี $\delta >0$ ที่ทำให้ \[ |x-\frac{1}{2}| < \delta \Rightarrow \left| \frac{1}{x+1} - \frac{2}{3}\right|< \epsilon \]
ตามต้องการ

จงแสดงการหาค่า $\lim_{x \to \infty}$ sin$^3$xcosx+5 $\frac{[x]!}{[x]^{[x]}} $

แก้โจทย์หน่อยครับ ตรง sinxcosx คือ sinx คูณ กับ cosx อ่าครับ ช่วยแสดงวิธีทำหน่อยนะครับ

ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้ \[ \lim_{n\rightarrow \infty}\sin x \cdot \cos x +5\frac{[x]!}{[x]^{[x]}}\]
คิดว่าหาค่าไม่ได้มั้งครับ เพราะ แสดงได้ (แต่อาจจะไม่ง่ายนัก) ว่า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} 5\frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = 0}$ แต่ ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sin x \cdot \cos x}$ ไม่มีลิมิต

$$ 0 < \frac{[x]}{[x]} \leq 1 $$
$$ 0 < \frac{[x]-1}{[x]} \leq 1 $$
$$ 0 < \frac{[x]-2}{[x]} \leq 1 $$
$$..........$$
$$ 0 < \frac{2}{[x]} \leq 1 $$
$$ 0 < \frac{1}{[x]} \leq \frac{1}{[x]} $$
คูณอสมการ จะได้
$$ 0 < \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} \leq \frac{1}{[x]} $$

เนื่องจาก
$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{[x]} =0 $$
จากทฤษฎีการบีบ จึงได้
$$ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = 0 $$

พิจารณา
$$ -1 \leq sin x \leq 1 $$
$$ 4 \leq (cos x)+5 \leq 6 $$
ดังนั้น
$$ -6 \leq (sin x)[(cos x) +5] \leq 6 $$
$$ -6 \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} \leq (sin x)[(cos x)+5] \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} \leq 6 \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} $$
บีบจะได้
$$ \lim_{x\rightarrow \infty} (sin x)[(cos x)+5] \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = 0 $$

คุณปรัชญานี่เก่งจิรงๆ นับถือนับถือ ขอคาระวะ1จอก

อ่าว ทำไมโจทย์เริ่มต้นไม่มีวงเล็บล่ะครับ ??