Solving homogeneous equations
 

สวัสดีครับ รบกวนเพื่อนๆ พี่ๆหน่อยครับ
วันนี้ผมมีคำถามเกี่ยวกับ homogeneous system (Ax=0) เมื่อ A เป็น square matrix นะครับ ซึ่งไปอ่านเจอใน exercise ของ text เล่มหนึ่งนะครับ เขาบอกว่า

Consider solving Ax=0 where
$$ A = \bmatrix{1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1} $$

Show that the homogeneous system has two independent solutions.

ข้อนี้ผมลองใช้โปรแกรม MATLAB คำนวน ปรากฎว่าคำตอบออกมาเป็นสองชุดคือ
ชุดแรก [-1 1 0] ชุดสอง [-1 0 1]

แต่ผมไม่รู้ว่าจะ solving ยังไงอ่ะครับ จะลดรูป A ให้เหลือ reduced row-echelon form ก็ไม่ได้ อ่ะครับ

ส่วนอีกคำถามหนึ่งก็คล้ายๆกันนะครับ

$$A = \bmatrix{0 & 0 & ... & 0 \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\0 & 0 & ... & 0 \\a1 & a2 & ... & an} $$ $$ where a1,...,an \in R $$

How many independent solutions can you find from solving Ax=0

ผมลอง simulation ในโปรแกรม MATLAB อีกครั้งครับ ด้วย parameter ดังนี้

$$A = \bmatrix{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 4 & 8 & 9} $$

ซึ่งผมได้คำตอบสามชุดดังนี้ครับ
ชุดแรก [-4 1 0 0] ชุดสอง [-8 0 1 0] ชุดสาม [-9 0 0 1]

ผมอยากรู้ว่าระบบแบบนี้ มีโอกาส solve ออกมาเป็น set คำตอบด้วยหรือครับ (ผมเคยแต่ solve ออกมาแล้วติดเป็นตัวแปร แล้วบอกว่า คำตอบเป็น non-trivial solution แค่นี้อ่ะครับ)

รบกวนผู้รู้ช่วยทีนะครับ ไม่เคยเจอจริงๆ

ตีความ สมการใน matrix ออกมาก็ได้ครับ
กรณีแรกจะได้สมการ $x_1+x_2+x_3=0$ เป็นระนาบผ่าน origin ในสามมิติ และระนาบมีสองมิติ ดังนั้นก็หา 2 independent vectors ได้อยู่แล้ว (เลือกอะไรก็ได้ที่สอดคล้องกับสมการนี้ อีกตัวนึงก็เลือก vector ไหนก็ได้ที่มันไม่อยู่บน line เดียวกัน)
ส่วนโจทย์อีกข้อก็เหมือนกันได้เป็นสมการ $a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=0$ เป็น hyperplane ใน n มิติ ดังนั้นก็เลยมี (n-1) dimension ก็มีได้มากสุด (n-1) linear independent solutions

หรือจะพูดตามแบบวิธี matrix theory หน่อย กรณีแรกก็ทำ echelon form ก็ได้
$$ A' = \bmatrix{1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} $$
จะได้ว่า basic variable มี 1 ตัว($x_1$ ที่ตำแหน่ง pivot) และอีกสองตัวก็เป็น $x_1,x_2$ จึงเป็น free variables ก็หาได้ 2 independent solutions
อีกข้อก็เหมือนกันสลับแถวขึ้นมาเป็นแถวที่ 1 ก็หลักแรกสุดเป็น basic column ที่เหลือ set เป็น free columns ได้ก็มี (n-1) independent free variables ที่ span Null space $N(A)=\left\{\,\right. x | Ax=0\left.\,\right\}$

สามชุดที่ได้จากโปรแกรมเป็น basis ของคำตอบทั้งหมดครับ หมายความว่าถ้าอยากได้คำตอบอื่นก็เอาสามเวกเตอร์นี้มาหาผลรวมเชิงเส้นจะได้คำตอบทั้งหมด

ขอบคุณทั้งสองความคิดเห็นข้างบนมากๆครับ ช่วยได้เยอะเลยครับ