ปัญหาการพิสูจน์เกี่ยวกับ matrix
 

อยากทราบว่าเราจะพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ได้อย่างไรครับ

ให้ A, B เป็นเมตริกซ์จัตุรัส ถ้า AB = I แล้ว BA = I

จะเห็นได้ไม่ยากว่าข้อความข้างต้นเป็นจริง เพราะถ้าเราใส่ determinant ลงไปก็จะทำให้เห็นว่า A และ B invertible (มี determinant ไม่เป็น 0) เอา A^-1 คูณตลอดจะได้ว่า B = A^-1 ดังนั้น BA = I

แต่ผมอยากได้การพิสูจน์ที่ใช้แค่สมบัติพื้นฐานของเมตริกซ์ ไม่ต้องไปพึ่งถึงเรื่องไกลๆอย่าง determinant น่ะครับ

สังเกตนิดนึงว่าจาก AB = I นั้นเราบอกได้เพียงว่า B เป็น right inverse ของ A เรายังบอกไม่ได้ว่า B เป็น inverse ของ A (ไม่งั้นก็คงไม่ต้องพิสูจน์อะไรแล้ว :D) ดังนั้นจุดสำคัญของการพิสูจน์น่าจะอยู่ที่การแสดงว่า A มี left inverse ด้วย (ซึ่งถ้าทำได้เราจะได้ผลที่ต้องการทันที เพราะถ้ามีทั้ง left และ right inverse เรารู้ว่ามันจะต้องเป็นตัวเดียวกัน)

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

เป็นคำถามที่น่าสนใจดีครับ

ในความคิดผม หากพิสูจน์ lemma ที่บอกว่า ถ้า AP=A แล้ว P= I ได้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทที่คุณ warut ถามได้แล้วนะครับ

เพราะ จาก AB= I
ดังนั้น (AB)A=A
หรือ A(BA)=A
แล้วก็ apply lemma ข้างต้น ก็น่าจะจบแล้วนะครับ

แต่ถ้า lemma นี้ไม่เป็นจริง อันนี้ ผมก็มืด 8 ด้าน แล้วครับ

ใช้ linear transformation ครับ
นิยาม linear operator
T,U : Fⁿ --> Fⁿ โดย
T(x) = Ax, U(x) = Bx
จะได้ว่า TU เป็น identity operator ดังนั้น T เป็นฟังก์ชัน onto
จากนั้นใช้ทฤษฎีบทที่ว่า

ถ้า T : V --> V เป็น linear operator โดยที่ V เป็น finite dimensional vector space แล้วสามข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน
(1) T เป็นฟังก์ชัน 1-1
(2) T เป็นฟังก์ชัน onto
(3) T invertible

ส่วนการพิสูจน์ตรงๆโดยการหา left inverse นั้นผมว่ายังมีข้อมูลน้อยเกินไปครับ แต่ถ้าคุณ warut อยากลองพิสูจน์ด้วยวิธีนี้ลองค้นจากหนังสือพวก Semigroup Theory ดูครับจะมีเทคนิคการพิสูจน์พวกนี้เยอะแยะทีเดียว ตอนนี้ผมทิ้งไปเยอะแล้วอ่ะ :)

ขอบคุณสำหรับทุกความเห็นครับ ผมว่าวิธีของคุณ nooonuii น่าจะดีที่สุดแล้วล่ะ วิธีพื้นๆแบบมัธยมไม่น่าจะเพียงพอสำหรับการพิสูจน์ แล้วคงจะมีคำถามแนวๆนี้มาอีก ขอบคุณอีกครั้งครับ :)

นาน ๆ จะมีคนถามเรื่องที่ผมพอจะตอบได้ ขอตอบหน่อยนะคับ แต่ไม่รู้จะถูกมั๊ยนะ

เนื่องจากเซตของเมทริกซ์ไม่เอกฐานขนาด $n \times n$ เป็นกรุปภายใต้การคูณเมทริกซ์ ณ ที่นี้ขอตั้งชื่อว่ากรุป $G$ เห็นได้ชัดว่า $I$ คือ เอกลักษณ์ของ $G$ ดังนั้นถ้า $A, B \in G$ และ $AB = I$ จะได้ว่า $BA = I$

ผมตอบตรงคำถามรึปล่าวครับ???

นั่นคือสิ่งที่โจทย์ถามครับ อีกอย่าง $G$ ไม่ใช่ abelian group นะครับ

งั้นเอาแบบละเอียดนะครับ

บทตั้ง 1 ให้ $G$ เป็นกรุป และ $I \in G$ ซึ่ง $IA = A$ ทุก $A \in G$ ถ้า $X$ เป็นสมาชิกใน $G$ ซึ่ง $XX = X$ แล้ว $X = I$
การพิสูจน์ ให้ $G$ เป็นกรุป และ $X$ เป็นสมาชิกใน $G$ ซึ่ง $XX = X$ โดยบทนิยามของกรุป จะมี $Y$ ใน $G$ ซึ่ง $YX = I$ ดังนั้น $I = YX = Y(XX) = (YX)X = IX = X$


ให้ $G$ เป็นกรุป ต้องการพิสูจน์ว่าถ้า $A, B \in G$ และ $AB = I$ แล้ว $BA = I$

การพิสูจน์ ให้ $G$ เป็นกรุป $A, B \in G$ ซึ่ง $AB = I$ เนื่องจาก
$$(BA)(BA) = B(AB)A = BIA = B(IA) = BA$$
ดังนั้นโดยบทตั้ง 1 จะได้ว่า $BA = I$

ถ้าเราสมมติว่าเซตของ invertible matrices เป็น group ทุกอย่างก็จบครับ แต่คำถามที่คุณ Warut ถามมาผมว่าเรากำลังพิสูจน์ภายใต้ข้อสมมติที่ว่า เซตของ matrices ภายใต้การคูณปกติของ matrix เป็น semigroup มากกว่าครับ :unsure:

งั้นเปลี่ยนแนว

ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ขนาด n ด n ซึ่ง AB = I พิจารณาระบบสมการ Bx = 0 เห็นได้ชัดว่าเมทริกซ์ 0 เป็นผลเฉลยของระบบสมการนี้ ให้ x₀ เป็นผลเฉลยหนึ่งของระบบสมการนี้ (ระบบสมการนี้อาจจะมีหลายผลเฉลย) ดังนั้น Bx₀ = 0 เอา A คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของสมการ จะได้ ABx₀ = A0 นั่นคือ Ix₀ = 0 เพราะฉะนั้น x₀ = 0 จึงสรุปได้ว่าระบบสมการนี้มีผลเฉลยเดียว แสดงว่า B เป็น invertible matrix และ B^-1 = A ดังนั้น AB = BA = I

ใช้ได้มั๊ยเอ่ย :sweat:

ขอบคุณ คุณ alongkorn มากครับ สำหรับการพิสูจน์อันสวยงาม :great: แต่ยังไงผมคงต้องกลับไปทบทวนเรื่อง matrix อีกที ถึงจะชัวร์ว่าเรื่องไหนมาก่อนมาหลังกันแน่ แล้วก็ขอบคุณ คุณ nongtum กับ คุณ nooonuii ด้วยครับ ที่ช่วยเข้ามาตอบระหว่างที่ผมเดี้ยงอยู่ :)