ช่วยแก้สมการตรีโกณหน่อยครับ
 

ช่วยแก้สมการตรีโกณข้อนี้หน่อยครับ

$cos^3x+sin^3x=1 เมื่อ x \in [0,360]$ คำตอบคือ 0,90,360

แต่ก็ไม่แน่ใจว่าถูก ช่วยกันเฉลยหน่อยครับ
:(

{0,90 ํ,180 ํ,270 ํ,360 ํ} ครับ

$cos^3x+sin^3x=1 เมื่อ x \in [0,360]$
จาก$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
แทน$A$ ด้วย $sinx$ และ $B$ ด้วย $cosx$
และจาก$sin^2x+cos^2x=1$ ดังนั้น$A^2+B^2=1$
$cos^3x+sin^3x=1 $
$(sinx+cosx)(1-sinxcosx)=1$
ใช้วิธีขี้โกงหน่อยแล้วกัน ไม่รู้ว่าจะถูกหรือผิด
$sinx+cosx=1$ หรือ $1-sinxcosx=1 \rightarrow sinxcosx=0 \rightarrow sinx=0$ หรือ$cosx=0$
$sinx+cosx=1$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างก็จะได้ $(sinx+cosx)^2=1$
$sin^2x+cos^2x+2sinxcosx=1$
$1+2sinxcosx=1 \rightarrow sinxcosx=0$.....เข้าทางกับอีกกรณี
$sinx=0$....จะได้ว่า$cosx=1$...$x=0,360 $
$cosx=0$....จะได้ว่า$sinx=1$....$x=90 $
ได้ค่า$x=0,90,360$

จาก $(\cos x + \sin x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = 1$

$(\cos x + \sin x)(1 - \sin x \cos x) = 1 ..... (T)$

ให้ $A = \sin x \cos x$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ (T)

จะได้ $(1+2A)(1-A)^2 = 1$

กระจายออกมาจะได้ $2A^3-3A^2 = 0$

A(2A - 3) = 0

ดังนั้น A = 0 หรือ A = 3/2

แต่ $A = \sin x \cos x = (1/2)\sin 2x \le 1/2$

ดังนั้น A = 0 เท่านั้น

นั่นคือ $A = (1/2)\sin 2x = 0 \iff \sin 2x = 0$

$2x = 0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi$

$x = 0, \pi/2, \pi, (3/2)\pi, 2\pi$

เมื่อตรวจคำตอบจะพบว่า $x = 0, \pi/2, 2\pi$ เท่านั้น