หลักรังนกพิราบ
 

1.จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนนับ n ใดๆ จะต้องมีพหูคูณของ n ซึ่งประกอบด้วยเลข 0 และ 7 เท่านั้น
2.จงพิสูจน์ว่า เมื่อเลือกจำนวนจริง 13 จำนวนใดๆก็ตาม จะมีจำนวน 2 จำนวน x,y ที่ทำให้
$ 0<\frac{x-y}{1+xy}\leqslant 2-\sqrt{3} $
3.นักเรียนคนหนึ่งมีเวลา 3 สัปดาห์ก่อนสอบ เขาตัดสินใจว่าในแต่ละวันเขาจะทำโจทย์อย่างน้อย 1 ข้อและในแต่ละสัปดาห์เขาจะทำโจทย์ไม่เกิน 12 ข้อ จงพิสูจน์ว่าจะมีช่วงวันติดต่อกันที่นักเรียนคนนี้ทำโจทย์ได้รวม 21 ข้อพอดี
ปล.ช่วยชี้แนะหน่อยนะครับ

โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้หรือเปล่าครับ. :rolleyes:

จงพิสูจน์ว่า เมื่อเลือกจำนวนจริง 13 จำนวนที่ต่างกัน จะมีจำนวน 2 จำนวน $x,y$ ที่ทำให้

$ 0<\frac{x-y}{1+xy}\leqslant 2-\sqrt{3} $

เพราะถ้าทุกจำนวนเท่ากันหมด ก็จะอ่านว่า $0< 0 \le 2 - \sqrt{3}$ ซึ่งเป็นเท็จครับ

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=15499
hint ข้อ 2. ครับ

ข้อ 1.
ให้ $a_{k}=777...777$ $k$ ตัว และให้ $A=\left\{\,a_{1},a_{2},...,a_{n+1}\right\}$
ให้ $b_{k}$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ $1 \leq b_{k} \leq n-1$ โดยที่ $a_{k}\equiv b_{k} \pmod{n}$
จากนั้นดู $b_{1},b_{2},...,b_{n+1}$ เป็นนก (สังเกตว่า index ของ $b$ นิยามให้สอดคล้องกับ $A$)
และเศษเหลือจากการหารด้วย $n$ เป็นรัง say $0,1,2,...,n-1$
จากนั้น imply รังนกต้องมี $i<j$ ที่ $a_{j}-a_{i}\equiv 0 \pmod{n}$

ปล.ลองเชคโจทย์ข้อ 3 ดูใหม่ ผมทำดูแล้วตัวเลขไม่ลงตัวครับ โจทย์ถูกหรือเปล่า

ข้อ 3. ใช้ mod 21 ครับ ลองๆดู