เซตว่างกับฟังก์ชัน
 

เกิดความสงสัยนิดๆเกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันคับ
คือ นิยามของฟังก์ชัน คือ
ความสัมพันธ์ $r$ ใดๆ ถ้า $(x,y)\in r$ และ $(x,z)\in r$ แล้ว $y=z$
อยากทราบว่า เซตว่าง เป็นฟังก์ชันหรือไม่ (ในความคิดผมคิดว่าเป็น แต่ไม่แน่ใจคับ ช่วยชี้แจงแถลงไขหน่อยนะคับ)

ผมว่าฟังก์ชัน กับ เซตว่างมันคนละเรื่องกันเลยน่ะครับ

ความสัมพันธ์ คือ สับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน แสดงว่า เซตว่าง เป็นความสัมพันธ์
จากนิยามของฟังก์ชันที่คุณ mercedesbenz ให้มา จะได้ว่า ส่วนหน้าของประพจน์ ถ้า...แล้ว... เป็นเท็จเสมอ แสดงว่าประพจน์นั้นเป็นจริง
นั่นก็คือ เซตว่าง เป็นฟังก์ชัน

ดูขัดๆ ยังไงก็ไม่รู้ แต่ถ้ายึดนิยามจริงๆก็เป็นอย่างนี้อ่ะครับ
[ปล. ที่เขียนไปเป็นแค่ความคิดของผมนะครับ อาจมีข้อผิดพลาดบางประการ :sweat:]

ถูกต้องแล้วนะครับ ความเป็นฟังก์ชันของเซตว่างได้จากนิยามความหมายทางตรรกศาสตร์
เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซตก็ใช้เหตุผลในทำนองเดียวกันครับ ลองดูอันนี้ไหม

ให้ $A=\{~x \in A | x\notin A \}$ สรุปว่า $A$ เป็นเซตว่างหรือไม่ ?

คำถามข้อนี้เคยออกสอบEntวิชาคณิตศาสตร์ ก เมื่อปี 2540 ข้อ38 มาแล้วครับ
เซตว่างนอกจากจะเป็นฟังก์ชันแล้วยังเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยครับ

แล้วเซตว่างเป็น function onบน เซตว่าง, เพิ่ม, ลด, ไม่เพิ่ม, ไม่ลด รึเปล่าครับ

ผมมีคำถามให้ตอบ2ข้อนะครับ ก่อนจะตัดสินใจว่าเซตว่างเป็นฟังก์ชันหรือไม่เป็นฟังก์ชัน และถ้ามันเป็นฟังก์ชันแล้วมันก็สมควรนะครับที่เราจะต้องบอกให้ได้ว่ามันเป็นฟังก์ชันแบบไหน เพิ่ม ลด คงที่ onto 1:1 ยุ่งล่ะครับ(ความคิดเห็นส่วนตัว) เพราะว่าถ้าตอบ2 คำถามนี้ได้มันจะไม่เกิดข้อขัดแย้งในตัวเอง โดย
1. $A,B$ เป็นเซตใดๆ ถ้า $(A\cap B)$ ไม่เป็นฟังก์ชัน ผมสรุปได้ไหมครับว่า เซต $A$และ $B$ ไม่เป็นฟังก์ชันทั้งคู่
2. $A,B$ เป็นเซตใดๆ ถ้า $(A\cup B)$ เป็นฟังก์ชัน ผมสรุปได้ไหมครับว่า เซต $A$และ $B$ เป็นฟังก์ชันทั้งคู่