เอาการบ้านมาฝาก
 

การบ้านวันนี้เป็นการพิสูจน์เกี่ยวกับทฤษฎี ๆ หนึ่งของสมการอนุพันธ์ คือว่าอาจารย์เขาให้พิสูจน์ทฤษฎีของสมการแม่นตรง(Exact Differential Equation) คือให้พิสูจน์ว่า (ของยกตัว ทบ. เลยนะ)

ทบ. :o ถ้าสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 M(x,y)dx + N (x,y)dy = 0 เป็นสมการแบบแม่นตรงแล้ว จะมีคำตอบทั่วไปคือ F(x,y) = c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว โดยที่อนุพันธ์ย่อยของ F(x,y) เมื่อเทียบกับ x มีค่าเท่ากับ M(x,y) และ อนุพันธ์ย่อยของ F(x,y) เมื่อเทียบกับ y มีค่าเท่ากับ N(x,y) :o

ที่ให้พิสูจน์ก็คือ ให้พิสูจน์ว่า อนุพันธ์ย่อยของทั้ง 2 อันมีค่าเท่ากัน ซึ่งอันนี้ผมก็ลองเปิดตำราหลาย ๆ เล่มดูแล้ว ก็ไม่ค่อยจะมีทฤษฎีนี้ หรือถ้ามีก็อ่านไม่รู้เรื่อง :confused: แต่เท่าที่อ่านมาพอจับจุดได้ว่า ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์รวม

หมายเหตุ ด่วนมาก อย่างน้อยก็ต้องให้รู้เรื่องก่อนวันจันทร์หน้านะจ๊ะ Thank you หลาย..... :p :p :p :p :p

ผมคิดว่าหนังสือทุกเล่มน่าจะมีทฤษฎีบทอันนี้นะครับ เพราะมันเป็นตัว check เลยว่าใช้วิธี exact แก้ diff equa ได้รึเปล่า
ผมรู้สึกว่าหนังสือเรียน Calculus I ที่นิสิตปี 1 ที่จุฬาเรียน นี่มีแน่ ๆ แล้วก็ไม่ยากด้วย
ผมยังไม่ได้ลองพิสูจน์เลยครับ

ลองพิจารณา F(x,y) = c ดูสิ จะได้ว่า
d(F(x,y)) = d(c)
[@(F(x,y))/@x] dx + [@(F(x,y))/@y] dy = 0 (@ ในที่นี้หมายถึงอนุพันธ์ย่อย)
จับมาเทียบกับสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
จะได้ว่า M(x,y) = @(F(x,y))/@x และ N(x,y) = @(F(x,y))/@y
ดังนั้น @M(x,y)/@y = @@(F(x,y))/@x@y และ @N(x,y)/@x = @@(F(x,y))/@x@y
นั่นคือ @M(x,y)/@y = @N(x,y)/@x = @@(F(x,y))/@x@y

ดังนั้นหากสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ใดๆ มีค่า @M(x,y)/@y = @N(x,y)/@x (เงื่อนไขนี้เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็น)
เราจะเรียกว่าเป็นสมการแบบแม่นตรง และจะมีผลเฉลยของสมการนี้จะอยู่ในรูป F(x,y) = c นั่นเอง