ขอวิธีการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตหน่อยค่ะ
 

1. MNOP เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยจุด Q และ R เป็นจุดกึ่งกลางด้านของ MN และ NO ตามลำดับ
พื้นที่สามเหลี่ยม PQR เป็นเศษส่วนเท่าใดของสี่เหลี่ยม MNOP

ที่ลองคิดเองคือ สมมุติว่า พื้นที่สี่เหลี่ยม MNOP = 8*10= 80
แล้วเอาพื้นที่สี่เหลี่ยม มาลบพื้นที่รอบๆสามเหลี่ยม PQR เป็น 80-(1/2*8*5)-(1/2*5*4)-(1/2*10*4)=30
ได้เศษส่วนเป็น 3/8 (แต่คิดว่าวิธีคงจะไม่ใช่)

2. M และ N เป็นจุดกึ่งกลางด้าน PQ และ PR ของสามเหลี่ยม PQR ตามลำดับ
QN และ MR ตัดกันที่จุด S ถามว่าสัดส่วนของพื้นที่ MNS ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม PQR เป็นเท่าใด

ขอบคุณค่ะ

1. ทำได้ครับ ถ้ากรณีทั่วไปเป็นจริง กรณีเฉพาะก็ต้องเป็นจริงด้วย

สมมติให้ MP = 2y เป็นความยาวฐาน และให้ 4h เป็นส่วนสูง

จะได้ [MNOP] = (2y)(4h) = 8hy

[QNR] = (1/2)(y)(2h) = hy
[PRO] = (1/2)(y)(4h) = 2hy
[MQP] = (1/2)(2y)(2h) = 2hy

ดังนั้น [PQR]/[MNOP] = (8hy-5hy)/8hy = 3/8

2. ให้ QR = 2z จะได้ MN = z
ให้ QR เป็นฐานของสามเหลี่ยม PQR มีส่วนสูง 2h
ให้ MN เป็นฐานของสามเหลี่ยม PMN มีส่วนสูง h

รูปสามเหลี่ยม MNS คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม QRS และมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคล้ายกันอีก 2 คู่

(รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีเส้นตรงลากผ่านจุด S และตั้งฉากกับ MN และ QR)

ให้ รูปสามเหลี่ยม MNS มีส่วนสูงเป็น $h_1$ ลากจาก S ไปตั้งฉากกับ MN
ให้ รูปสามเหลี่ยม QRS มีส่วนสูงเป็น $h_2$ ลากจาก S ไปตั้งฉากกับ QR

จะได้ $h_1+h_2 = h$ แต่จากสามเหลี่ยมคล้าย เราจะได้ว่า $h_1/h_2 = 1/2$

ดังนั้น $h_1 = h/3$

จึงได้ [MNS] : [PQR] = (1/2)(z)(h/3) : (1/2)(2z)(2h) = 1:12

ทำคล้ายๆกัน แต่พิมพ์ช้ากว่า :)

1.

พื้นที่สี่เหลี่ยม MNOP = W*L= WL

แล้วเอาพื้นที่สี่เหลี่ยม มาลบพื้นที่รอบๆสามเหลี่ยม PQR เป็น

WL - (1/2*W*L/2) - (1/2*L/2*W/2) - (1/2*L*W/2) = WL - (5/8) WL = (3/8) WL


2.

MN // QR ดังนั้น MN = 1/2 QR

$ \triangle MNS \sim \triangle QRS $ ดังนั้น MS/SR = NS/SQ = 1/2

[MNS] แทน พื้นที่ $\triangle MNS $

ให้ [MNS] = x จะได้ว่า

[MQS] = [NSR] = 2x

[QSR] = 4x

[MNQ] = [MNP] = 3x

ดังนั้น [MNS] : [PQR] = 1:12