|
อสมการเรขา
ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม จงแสดงว่า $$\tan A + \tan B + \tan C \geq \frac{s}{r}$$ เมื่อ $s$ และ $r$ คือครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นรอบรูป และรัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ:please::please:
|
อ้างอิง:
ปล.ไปก็อบโจทย์มาจากไหนหรือเปล่า? |
อ้างอิง:
แล้วคุณ Anonymous314 คิดออกยังครับ?? |
ก็ลองวาดรูปดูสิครับ
ถ้ายังไม่ได้แล้วผมจะ hint ให้แล้วกันครับ |
อ้างอิง:
เก่งครับเก่ง สุดยอดเลยครับ:great::great::please::please::happy: |
อ้างอิง:
ว่าแต่คุณ dektep ช่วย post hint ให้คนโง่ๆอย่างผมทีครับ:please: |
ผมว่าคุณ owlpenguin ฟิตสุดแล้วครับ ใช่ไหมครับ???
โดยให้วงกลมแนบใน $ABC$ สัมผัส $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ ให้ $AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=z$ จะได้ $tan \frac{A}{2} = \frac{r}{x}$ ได้ว่า $LHS = \frac{8r^3xyz}{(x^2-r^2)(y^2-r^2)(z^2-r^2)}$ $RHS = \frac{x+y+z}{r}$ แล้วย้าย $xyz$ ไปข้างขวาแล้วใช้ $r= \sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}$ จะได้ว่า $\frac{x+y+z}{xyz} = \frac{1}{r^2}$ เหลือว่าจะต้องพิสูจน์ $8r^6 \geq (x^2-r^2)(y^2-r^2)(z^2-r^2)$... |
ผมเองก็เพิ่งรู้ว่ามีเอกลักษณ์ตรีโกณแบบนี้ด้วย :D
ในสามเหลี่ยม $ABC$ เราได้ว่า $\sum_{cyc}\frac{a^2}{tanA}=4S$ โดยที่ S เป็นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC จาก CS เราได้ว่า $(\sum_{cyc}tanA)(\sum_{cyc}\frac{a^2}{tanA})=4S(\sum_{cyc}tanA)\geq(a+b+c)^2$ นั้นคือ $(\sum_{cyc}tanA)\geq \frac{(a+b+c)^2}{4S}=\frac{s}{r}$ Credit: skylover |
อ้างอิง:
ขอลอง proof ดูนะครับ $\displaystyle LHS=\sum(\frac{a}{\sin{A}})(a\cos{A})=2R\frac{\sum_{cyc}a^2(b^2+c^2-a^2)}{2abc}$ $\displaystyle =\frac{R}{abc}16s(s-a)(s-b)(s-c)$ $\displaystyle =\frac{\frac{a}{2\sin{A}}}{abc}16S^2$ $\displaystyle =\frac{1}{2bc\sin{A}}\frac{bc\sin{A}}{2}16S$ $=4S$:) เทพจิงๆครับ คนที่พบเอกลักษณ์นี้ |
จาก ML ครับข้อนี้
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=220899 |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:28 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha