คุ้นๆตากับข้อสอบแบบนี้ไหมครับ....
 

วันนี้ไปหาข้อสอบเล่นไปโผล่ที่Dutch Math Olympiad ลองเปิดดูไปเจอข้อสอบแบบที่ออกสอบในสอวน.ของมน.ปี2553 1ข้อก็เลยลองโหลดมาดู ใช้กูเกิลแปลเป็นภาษาอังกฤษ เอามาแปะให้ดูกัน ว่าคุ้นๆกันไหม

DMO 2001
1.Determine all pairs of positive integers $(x, y)$ satisfying the equation
$3xy-2x-y=8$
จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y$ ที่เป็นคำตอบของสมการ $3xy-2x-y=8$

2.Determine the number of factors 2 in $2001!$
ใน$2001!$ มี $2$ เป็นตัวประกอบทั้งหมดกี่จำนวน

DMO 2002
1.Calculate $1000^2-999^2+...+2^2-1^2$
จงหาค่าของ $1000^2-999^2+...+2^2-1^2$

DMO 2003
Determine the smallest value of n for which $1+2+3+..+n$ is a multiple of $1000$.
จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ผลบวกของ $1+2+3+..+n$ เป็นจำนวนเท่าของ $1000$

DMO 2004
Determine all pairs of positive integers $x$ and $y$ that a solution
from the equation: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=1$
จงหาค่าของจำนวนเต็มบวก $x$ และ $y$ ที่เป็นคำตอบของสมการ$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=1$

DMO 2005
1.A circle of radius 2 rolls around a regular five-angle with side 4. It remains the circle against Pentagon until he pushed back into its original position landed.
Calculate the area of the area during this revolution is covered by the circle
(ถ้าผมจำไม่ผิดข้อสอบข้อนี้เป็นข้อสอบรอบสอง สสวท.ม.ต้น)
1.วงกลมมีรัศมีเท่ากับ 2 กลิ้งไปรอบรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านละ 4หน่วย เมื่อวงกลมกลิ้งไปจนครบหนึ่งรอบ
จงคำนวณหาพื้นที่ที่เกิดขึ้นจากการกลิ้งวงกลม
เห็นข้อนี้แล้วนึกถึงลุงBanker



2.How many numbers are the sum of seven different numbers from the numbers 0-9
2.จงหาว่ามีจำนวนนับกี่จำนวนที่เกิดจากการนำจำนวนนับเจ็ดจำนวนที่แตกต่างกัน(ใช้ไม่ซ้ำกัน)มาบวกกันจากเลข $0-9$

DMO 2006

1.How many positive whole numbers less than 1000 are the sum of the digits
equal to 6?
a.7 b.16 c.27 d.28 e.35
1.มีจำนวนนับที่น้อยกว่า$1000$ กี่จำนวนที่มีผลบวกของตัวเลขในแต่ละหลักรวมกันเท่ากับ $6$

2.How many four-digit numbers have the following characteristics:
- The second number is the average of the first digit and third digit,
- The third number is the average of the second digit and fourth digit?
(A number does not begin with the digit 0.)
2.มีจำนวนสี่หลักกี่จำนวนที่มีคุณสมบัติ
2.1 ตัวเลขในหลักที่สองเป็นค่าเฉลี่ยของตัวเลขในหลักที่หนึ่งและสี่
2.2 ตัวเลขในหลักที่สามเป็นค่าเฉลี่ยของตัวเลขในหลักที่สองและสี่
ตัวเลขในหลักแรกนับจากหลักหน่วย??

DMO 2007
1.The equation $9^n+9^n+9^n=3^{2007}$ an integer solution?
(A) Yes, n = 667 (B) Yes, n = 669 (C) Yes, n =1003 (D) Yes, n =2006 (E) no
1.สมการ $9^n+9^n+9^n=3^{2007}$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม ใช่หรือไม่?
(A) ใช่, n = 667 (B) ใช่, n = 669 (C) ใช่, n =1003 (D) ใช่, n =2006 (E) ไม่

2.Nine chairs in a row behind a long table. Six students and three teachers, Mr Monkey, Mr and Mrs Note Mies, sit on these chairs. Arrive the first three teachers. They decide to sit down so that each teacher sits between two students. How many ways can Mr. Monkey, Mr. and Mrs. Note Mies choose their seats?
(A) 12 (B) 36 (C) 60 (D) 1984 (E) 630
2.ครู $3$ คนกับนักเรียน $6$ คน นั่งบนเก้าอี้ $9$ ตัวที่เรียงเป็นแถวหลังโต๊ะยาว ถ้าครูแต่ละคนต้องนั่งระหว่างเด็กนักเรียน $2$คน จงหาว่ามีจำานวนวิธีกี่วิธีให้ครูทั้งสามคนเลือกนั่งตามเงื่อนไขดังกล่าว
(A) 12 (B) 36 (C) 60 (D) 1984 (E) 630

3.How many pairs $(a, b)$ of positive integers with $a+b<100$ are complying with the equation:$a+\frac{1}{b} =13(b+\frac{1}{a})$
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 13 (E) 28
3.มี$(a, b)$กี่คู่ที่เป็นจำนวนเต็มบวก โดย $a+b<100$ และ สอดคล้องกับสมการ $a+\frac{1}{b} =13(b+\frac{1}{a})$
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 13 (E) 28

DMO 2008
1.For a certain $x$, we have $x +\frac{1}{x}= 5$. Define $n = x^3 + \frac{1}{x^3} $ .
It turns out that $n$ is an integer.
Calculate n. (Give your answer using decimal notation.)
1.ถ้า $x +\frac{1}{x}= 5$ และ $n = x^3 + \frac{1}{x^3} $
จงหาค่าของ$n$

2.How many distinct real solutions does the equation
$(x^2 − 2)^2 − 5^2= 1$ have?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
2.มีจำนวนจริงแตกต่างกันกี่จำนวนที่เป็นคำตอบของสมการ $(x^2 − 2)^2 − 5^2= 1$
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

ถ้าบ่ายว่าง ผมจะแปลไทยกำกับให้ครับ

Attachment 4193

$=(1000-999)(1000+999)+(998-997)(998+997)+...+(4-3)(4+3)+(2-1)(2+1)$

$=(1000+999)+(998+997)+...+(4+3)+(2+1)$

$=\frac{(1000+1)(1000)}{2} $

$=500500ครับ$

Attachment 4194

$9^n+9^n+9^n=3^{2007}$

$3^{2n}+3^{2n}+3^{2n}=3^{2007}$

$3x3^{2n}=3^{2007}$

$3^{2n+1}=3^{2007}$

ดังนั้น$2n+1=2007$จะได้$n=1003$ตอบข้อ$C$ครับ

Attachment 4195

ใช้$Legendre's formula$ครับ

$[\frac{2001}{2}]+[\frac{2001}{2^2}]+[\frac{2001}{2^3}]+... =1000+500+250+125+62+31+15+7+3+1=1994$ครับ

รู้สึกข้อแรกจะง่ายสุุดละ
$3xy-2x-y = 8 , (2x-1)(y-1) = 9*1 = 1*9 = 3*3 , x,y \in \mathbb{N} $

$3xy-2x-y +1\not= (2x-1)(y-1) $นี่ครับ

มึนอีก ละ ครับ ๆ ... เอาใหม่ ๆ ทำเป็นเศษส่วน y= ..... หรือ x = ... แล้ว ยุบ ลง ๆ เรื่อย ๆครับ :p:D

ผมได้ $80+4\pi $ ตารางหน่วยครับ

ได้เท่ากันครับ

รบกวน ท่านเทพช่วยแสดงวิธีทำหน่อยครับ (ผม noob จริง ๆ ครับ :please::()

Attachment 4196

$a+\frac{1}{b}=13(b+\frac{1}{a})$
$ \frac{ab+1}{b}=13(\frac{ab+1}{a})$
$\frac{1}{b}=\frac{13}{a}\rightarrow a=13b$
$a+b<100จะได้(a,b)=(13,1),(26,2),(39,3),(52,4),(65,5),(78,6),(91,7)$ตอบข้อB7คู่ครับ

Attachment 4197

$a^3+\frac{1}{a^3} =(a+\frac{1}{a} )^3-3(a+\frac{1}{a})$
$=5^3-3(5)=110$ครับ

แต่ได้ไม่เท่าผมครับ :)

เท่าที่แอบดูในเฉลย....ข้อที่ทำกัน เฉลยได้ตรงกันครับ
ข้อวงกลม ผมแปะรูปให้ดู เขาเฉลยง่ายๆว่า ตรงหัวมุมทั้งห้ามุมรวมกันได้วงกลมหนึ่งวง ผมทำรูปแนบไว้ให้ดูด้วยครับ
รูปแรกเป็นรูปพื้นที่ที่เกิดวงกลมเคลื่อนที่รอบห้าเหลี่ยม
รูปที่สองผม ตัดเฉพาะหัวมุมทั้งห้ามาให้ดูว่า มันเลื่อนเข้าหากันเป็นวงกลมอย่างที่ขาเฉลยกันหรือเปล่า....น่าจะใช่

แล้วเฉลยตอบว่าพื้นที่วงกลมเท่าไรครับ:) อย่าบอกนะว่า $4\pi $

น่าจะเป็น $16\pi \ \ $ (รัศมี = 4 ไม่ใช่ 2)

ดังนั้นจึงตอบว่า $80 + 16\pi \ \ $ :haha:
(พลาดจนได้)