โจทย์ลองฝึกจากIWYMIC
ลองโหลดมาดูในปี2011กับ2010....เป็นข้อสอบของการคัดตัวของประเทศไต้หวัน ผมเลือกข้อที่เป็นพีชคณิตเพราะมีตัวหนังสือน้อย พอจะใช้google translateแปลได้ ข้อที่เนื้อหายาวๆ รู้สึกว่ากูเกิลจะแปลไม่ได้เนื้อความ
5ข้อแรกมาจากปี 2011 1.$x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ $\dfrac{5}{2x} +\dfrac{2}{5y} =\dfrac{1}{100} $ จงหาว่ามีคู่ลำดับ$(x,y)$ ทั้งหมดกี่คู่ 2.ค่า$x,y,z$ สอดคล้องกับสมการนี้ $x+y+z=4$ $x^2+y^2+z^2=6$ $x^3+y^3+z^3=10$ จงหาค่าของ $\frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} $ 3.กำหนดให้ $a$ และ $\frac{a^3+25}{a+5} $ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่มากที่สุดของ $a$ 4.ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่$x^2y^3=6^{12}$ มีคู่ลำดับ$(x,y)$ ทั้งหมดกี่คู่ที่สอดคล้องกับสมการนี้ 5.ให้ $N=\underbrace{6666...666}_{2011 ตัว} 5 \times 1\underbrace{3333...333}_{2012 ตัว}$ จงหาเลขท้าย5ตัวสุดท้ายของ$N$ เดี๋ยวค่ำๆจะเอามาลงอีก 5 ข้อ ใครสนใจลองทำ 5 ข้อแรกไปก่อนเลย อีก 6 ข้อเป็นของปี2010 6.จงหาเศษจากการหาร $9^{2010}$ ด้วย $11$ 7.จงหาค่าของ $1^3+2^3+3^3+...+99^3+100^3$ 8.กำหนดให้ $p,q,r$ และ $s$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ $0$ .ถ้า$r,s$ เป็นรากของสมการ $x^2+px+q=0$ และ $p,q$ เป็นรากของสมการ $x^2+rx+s=0$.ผลบวกของ $p+q+r+s$ เท่ากับเท่าไหร่ 9.ให้ $a,b,c,d$ และ $e$ เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันห้าจำนวน ซึ่งสอดคล้องกับ $(4-a)(4-b)(4-c)(4-d)(4-e)=12$ จงหาค่าของ $a+b+c+d+e$ 10. ถ้า $N=1+11+111+...+\underbrace{111...111}_{2010 ตัว} $ แล้ว จงหาเลขห้าหลักท้ายของ $N$ 11.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $100 \leqslant n \leqslant 400$. ถ้า $\frac{n^3-99}{n^3-92}$ ไม่ใช่เศษส่วนอย่างง่าย จงหาค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่ามีกี่จำนวน (ข้อ 11.ไม่มั่นใจว่าเข้าใจโจทย์ถูกหรือไม่ คำว่า simple fraction แปลเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ซึ่งไม่แน่ใจความหมายคือ ยังมีตัวประกอบร่วมกันได้ใช่หรือเปล่า) ข้อสอบปี 2010..... ข้อสอบปี2011 พรุ่งนี้จะเข้ามาแปะเฉลยครับ เชิญลุยกันได้เลยครับ เฉลย ข้อ2.มี 2 วิธี วิธีแรกที่ทำกันในนี้ ข้อ3....แปลงรูปสมการอย่างที่ทำกันครับ ข้อ6...ใช้Fermatt's Little Theorem $9^{10} \equiv1 \pmod{11} $ ข้อ 7,9....เฉลยแบบเดียวกับที่ทำในกระทู้ ข้อ8....แก้สมการธรรมดา ข้อ10...ทำแบบที่ลุงBankerอธิบาย |
ผมยังไม่มีเวลาทำ แต่ยังไงลองเอาลิงค์หรือไฟล์ข้อสอบมาช่วยกันงมสิครับ
|
อ้างอิง:
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$ $10=4(6-5)+3xyz$ $xyz=2$ ผมหาได้แต่เป็นจำนวนเต็มอ่ะครับ จะได้ค่าแค่ 1,1,2 เท่านั้น $(x,y,z)=(1,1,2) $ เรียงสับเปลี่ยนด้วย อ้างอิง:
$\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2-5a+25-\dfrac{100}{a+5}$ a+5 ต้องเป็นตัวประกอบของ 100 จะได้ a=95 |
อ้างอิง:
ข้อสอง $5=xy+yz+zx$ , $25 = (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 + 2xyz(x+y+z)$ ใช้ $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ คู่ด้วย จะได้$xyz=2$ จะได้ $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 = 9$ คำตอบคือ $\frac{9}{4}$ ข้อสาม จัดรูปก็ออกแล้ว $\frac{a^3+25}{a+5} = a^2-5a+25-\frac{100}{a+5} $ เพราะฉะนั้น ค่ามากที่สุดของ $a$ คือ $95$ ข้อ 4 ตอบ 35 (ถ้าผิดก็ขอโทษด้วย) |
อ้างอิง:
$ N = 65 \times 133 = 8645$ $ N = 665 \times 1333 = 886445$ $ N = 6665 \times 13333 = 88864445$ $ N = 66665 \times 133333 = 8888644445$ $ N = 666665 \times 1333333 = 888886444445$ . . . $N=\underbrace{6666...666}_{2011 ตัว} 5 \times 1\underbrace{3333...333}_{2012 ตัว}$ พอมองออกแล้วนะครับ ขี้เกียจพิมพ์ต่อ เอาเป็นว่าตอบ 44445 |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
1+ \\ 11+ \\ 111+ \\ 1111+ \\ 11111+ \\ 111111+ \\ ............. + \\ ................ + \\ .................. + \\ .................. 789900 & & \\ \end{array}\] หลักหน่วยรวมได้ 2,010 ใส่ 0 ทด 201 หลักสิบ รวม 2,009 บวกทด 201 = 2,210 ใส่ 0 ทด 221 หลักร้อย รวม 2,008 บวกทด 221 = 2,229 ใส่ 9 ทด 222 หลักพัน รวม 2,007 บวกทด 222 = 2,229 ใส่ 9 ทด 222 หลักหมื่น รวม 2,006 บวกทด 222 = 2,228 ใส่ 8 ทด 222 หลักแสน รวม 2,005 บวกทด 222 = 2,227 ใส่ 7 ทด 222 ห้าหลักสุดท้ายคือ 89,900 หรืออีกวิธี ใช้การแจกแจง หลักหน่วย = 2,010 x1 = 2,010 หลักสิบ = 2,009 x 10 = 20,090 หลักร้อย = 2,008 x100 = 200,800 หลักพัน = 2,007 x 1,000 = 2,007,000 หลักหมื่น = 2,006 x 10,000 = 20,060,000 หลักแสน = 2,005 x 100,000 = 200,500,000 รวมกันได้ 222,789,900 ห้าหลักสุดท้ายคือ 89,900 |
อ้างอิง:
$(x-p)(x-q)=0$ $x^2 -(p+q)x +pq$ โดยการเทียบ สปส. $r = - (p+q)$ $s = pq$ ทำนองเดียวกัน $r,s$ เป็นรากของสมการ $x^2+px+q=0$ $x^2-(r+s) +rs$ $p = -(r+s)$ $ q = rs$ $p+q+r+s = rs, \ \ pq$ |
อ้างอิง:
$4-a = 1 \ \to \ a = 3$ $4-b = -1 \ \to \ b = 5$ $4-c = 2 \ \to \ c = 2$ $4-d = -2 \ \to \ d = 6$ $4-e = 3 \ \to \ e = 1$ $a+b+c+d+e = 3+5+2+6+1 = 17$ |
อ้างอิง:
$9^{2010} \equiv 2^{2010} \pmod{11}$ $2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ $2^{2010} \equiv 1 \pmod{11}$ |
ข้อ6 $9^2010=3^4020$
$3 \equiv 3 \pmod{11}$ $3^2 \equiv 9 \pmod{11}$ $3^3 \equiv 5 \pmod{11}$ $3^4 \equiv 4 \pmod{11}$ $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$ จะเห็นว่า 5 เป็นตัวประกอบของ 4020 เหลือเศษ 1 ครับ |
2 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 5974
ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีด้านยาวด้านละ 30 หน่วย E ตั้งอยู่บน CD และ F ตั้งอยู่บน BC ทำให้ CF = CE = x ถ้าสี่เหลี่ยม FCEG มีพื้นที่ 75 ตารางหน่วย จะหาค่าของ x Attachment 5975 จากรูป $\frac{y}{30-x} = \frac{37.5}{x}$ $xy = 1125 -37.5x$ $ x (y+37.5) = 1125$ ......(1) $\dfrac{375-y}{30-x} = \dfrac{y+75}{x}$ $y = \dfrac{15x-75}{2}$ .........(2) แทนค่า $y$ ใน (1) $ x= 5\sqrt{6} $ |
โอ้โห...ลุงBankerแปลจีนให้ด้วย....สุดยอดครับลุง
ข้อ8.... $p+q=-r\rightarrow p+q+r=0$ $pq=s$ $r+s=-p\rightarrow p+r+s=0$ แก้สองสมการได้ $q=s$ จาก $pq=s$ และ $q=s$ แล้ว$p=1$ $rs=q$ และ $pq=s$ $r(pq)=q \rightarrow r=1 $ ได้$q=-(r+p)=-2$ $s=-(p+r)=-2$ $p+q+r+s=s=-2$ |
อ้างอิง:
ไม่ได้แปลครับ คิดเอาเองว่าโจทย์น่าจะเป็นแบบนี้ :haha: |
อ้างอิง:
เซียนจริงๆ :died: :please: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:30 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha