ช่วยอธิบาย AM-GM ถ่วงน้ำหนักของข้อนี้หน่อยครับ
 

ตรงแนวคิดที่2 ที่เป็น AM-GM ถ่วงน้ำหนัก
ทำไมสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ต้องเป็น $\frac{1}{4} ,\frac{3}{8} , \frac{3}{8}$ ด้วยครับ
เปลี่ยนทั้งหมดเป็น $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} $ ได้มั้ยครับ

ฝากช่วยแนะนำด้วยครับ ขอบคุณครับ

ตอบ จขกท. นะครับ มันมาจากการแก้ระบบสมการครับ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้มาไม่ได้มาแบบมั่วๆครับ

ผมจะไม่ตั้งระบบสมการให้ดู ผมแนะนำว่าไปโหลดหนังสือของ Thomas J. Mildorf มา
ไอเดียการตั้งระบบสมการอยู่หน้าที่ 13 ข้อที่ 18 ครับ

ผมโหลดมาแล้ว แต่ยังมีงงๆอยู่ครับ ไม่ทราบว่า 3 บรรทัดล่างสุด ตั้งมายังไงครับ ฝากช่วยขยายความ ขอบคุณครับ

อันนี้ในหนังสือมันน่าจะพิมพ์ผิด ต้องเป็น

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1$
$4x_{1}+x_{4}=2$
$4x_{2}+x_{1}=1$
$4x_{3}+x_{2}=1$
$4x_{4}+x_{3}=1$

4 สมการล่าง ข้างซ้ายคือเลขชี้กำลังของ $a,b,c,d$ ตามลำดับ คิดจาก $a^4b,b^4c,c^4d,d^4a$ ส่วนด้านขวาคือเลขชี้กำลังของ $a^2bcd$ คือ $2,1,1,1$ ครับ
เพื่อที่ว่ามันผ่านการ simplify ในรูทแล้วได้เลขชี้กำลังเหมือนทางด้านขวาครับ

ขอเสนออีกวิธีสำหรับโจทย์ของ จขกท โดย AM-GM

$\dfrac{a^3b^3}{c^5}+c+c\geq \dfrac{3ab}{c}\textrm{__________________}(1)$

$\dfrac{b^3c^3}{a^5}+a+a\geq \dfrac{3bc}{a}\textrm{___________________}(2)$

$\dfrac{c^3a^3}{b^5}+b+b\geq \dfrac{3ca}{b}\textrm{___________________}(3)$

$\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\right)\geq 3a\textrm{___________________}(4)$

$\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)\geq 3b\textrm{___________________}(5)$

$\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\geq 3c\textrm{___________________}(6)$

นำ $(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6)$ จะได้อสมการที่ต้องการ