Geometry marathon
 

เช่นเดียวกับกระทู้ number theory marathon และ inequality marathon นะครับ
1.ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดที่ E และ F บนด้าน AB และ BC ตามลำดับ ลาก DE และ DF ไปพบ AB และ BC ที่จุด G และ H ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า DGH เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ลองสร้างรูปดูแล้วครับ จะได้ว่ารูปที่ได้มีกรณีที่เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าไม่ทุกกรณี
มีบางกรณีเท่านั้น(ไหม) :)

เอ ไม่ค่อยเคลียร์อะครับ สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ยอดที่ E , F นี่ ฐานอยู่ที่ไหนหรอคับ :confused:

ปล.ขอแสดงความยินดีกับคุณ Tony , Alberta แล้วก็ผมเองด้วยครับ
ที่ผ่าน สอวน. รอบแรก ศูนย์ภาคใต้ :D

สำหรับรูปนะครับ
จะเห็นว่าไม่ทุกกรณีนะครับ(ลองสร้างดูได้) :D
ปล.ดีใจด้วยเช่นกันครับคุณtum

โทดทีครับ กรณีที่โจทย์ต้องการคือกรณีแรกครับ ละก็เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่านะครับ แก้ไขแล้ว สามเหลี่ยม2รูปอยู่ในสี่เหลี่ยม นะครับ

พอดีคุณ Char Aznable ฝากมานะคับ
ก่อนแก้
หลังแก้

แล้วก็ฝากมาว่า คิดเฉพาะกรณีที่รูปสามเหลี่ยมอยู่ข้างใน (ต้องเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวแตกต่างกันไม่มาก) ดังรูปนี้ครับ

คิดแบบไม่ใช้สมอง ใช้แต่แรงงานอะ

จากรูป

สมมติว่า
ด้าน AB = x
ด้าน BC = y

ความสูงของ ABE = \(\frac{\sqrt{3}}{2}x\)
ความสูงของ BCF = \(\frac{\sqrt{3}}{2}y\)

ความยาว AH = \(2(x - \frac{\sqrt{3}}{2}y) = 2x - \sqrt{3}y\)
ความยาว CG = \(2(y - \frac{\sqrt{3}}{2}x) = 2y - \sqrt{3}x\)

ความยาว BH = AB - AH = \(\sqrt{3}y - x\)
ความยาว BG = BC - CG = \(\sqrt{3}x - y\)

\[DH^2 = AD^2 + AH^2 = y^2 + (2x - \sqrt{3}y)^2 = 4x^2 + 4y^2 - 4\sqrt{3}xy\]\[DG^2 = AB^2 + CG^2 = x^2 + (2y - \sqrt{3}x)^2 = 4x^2 + 4y^2 - 4\sqrt{3}xy\]\[GH^2 = BH^2 + BG^2 = (\sqrt{3}y - x)^2 + (\sqrt{3}x - y)^2 = 4x^2 + 4y^2 - 4\sqrt{3}xy\]
เพราะว่า DG = GH = DH ดังนั้น DGH จึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ไม่รู้จะตั้งโจทย์ไรดี ... เอาอันนี้ละกัน โจทย์ classic

สมมติมีพื้นผิวอยู่สองอัน นิยามโดย F(x, y, z) = 0 และ G(x, y, z) = 0 เมื่อ F(x, y, z) และ G(x, y, z) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ทุกจุด

สมมติว่าพื้นผิวสองอันตัดกันแล้วเป็นเส้น (homeomorphic กับ subset ของเส้นรอบวงของวงกลม)

จงหา tangent vector ของรอยตัดที่เป็นเส้น ๆ (ไม่ต้อง normalize ขนาดให้นะ)

ขอตอบด้วยคน แม้จะช้าไปสองสามชั่วโมงก็ตาม ขอโทษครับเพิ่งเห็นที่ผิด คิดออกแล้วจะมาแก้ครับ ^_^'

ข้อสองของคุณ tunococ ถามโหดจัง จะมีเซียน geometry หรือ analysis มาตอบสักกี่คนละนี่ :eek:

เฉลยของคุณ nongtum น่าจะเป็นอะไรที่เค้าต้องการนะครับ :)

ส่วนโจทย์ของผมเนี่ย เอามาให้ดูเพราะว่าคำตอบมันเจ๋งดีอะครับ (ง่ายอย่างไม่น่าเชื่อ) :p

อ้อ ... โจทย์ไม่ได้ถามสมการรอยตัดนะครับ ไม่ต้องหา แค่หา tangent vector ในเทอมของ x y z ก็พอ ไม่ต้องสนใจกรณีที่ (x, y, z) ไม่อยู่บนรอยตัดด้วย

ยังคิดข้อบนไม่ได้ทีครับ :D ...แต่เอาข้อนี้ด้วยนะ
แมลงตัวหนึ่งไต่รอบพีระมิดแก้วตรงมีฐานเป็นสามเลี่ยมด้านเท่าดังรูป แล้วบินหนีไป
ถ้า AB = BC = CD = DE = EF
จงหาขนาดของมุม ะEAF

ก็ จากที่มันหมุนซะรอบทิศ ขอจับมารวมกันไว้ด้านเดียวนะครับ

จากรูป
ให้ \(E\hat AF \ = \ A\hat BC \ = \ x\)
นั่นคือ \(X\hat CE \ = \ x\) ด้วย (มุมแย้ง)
จะได้ \(C\hat BD \ = \ C\hat DB\ = \ x+x\ = 2x\) (มุมภายนอก)
แล้วก็มุมภายนอกอีกทีได้ \(X\hat CD \ =\ 2x+2x\ = 4x\)
ซึ่ง \(E\hat CD \ = \ X\hat CD -X\hat CE \ = \ 4x-x\ = 3x\)

ทำแบบนี้อีกครั้ง จะได้มุมที่ฐานเป็น 4x ทั้งคู่
นั่นคือ 4x + 4x + x = 180
ได้ x = \( 20^\circ \) ครับ :D

ถูกแล้วครับ
อืมพอดีอยากถามว่าใครเคยเห้นข้อข้างบนที่ผมเอามาpostบ้างครับว่าเป็นข้อสอบอะไร(พอดีได้มาจากเพื่อนอะครับก็เลยอยากรุ้ว่าเป็นข้อสอบเก่ าของที่ไหน)
ปล.ข้อนี้ตอนผมคิด ไม่ทันคิดแบบเอามารวมกันบนหน้าเดียวก็ปาเข้าไปยาวเหยียดเลยครับ :D

ข้อ 2 ของคุณ tonococ โหดจังครับ
ความรู้ยังไม่ถึงเลยอะครับ
ผมยกสิทธิ์ที่ตอบคำถามของคุณ Alberta ให้เป็นคำถามของคุณ tonococ ต่อนะครับ
ถ้าสะดวกรบกวนขอ hint ได้ไหมครับ

อ่า ... ผมว่า ช่วย ๆ กันถามก็ได้หนิครับ มีหลาย ๆ ข้อก็น่าจะดีกว่า :)

ส่วน hint หรอครับ ... ว่าไงดีหละ ... ลองดูเรื่อง gradient ของฟังก์ชันละกันครับ