ค่า e
 

บอกหน่อยคับ ค่า e(exp)ที่เท่ากับ 2.71828....คืออะไร มีความหมายยังไง อยากรู้มากคับ ห้ามตอบว่าเป็นแค่ค่าคงตัว เพราะมันต้องมีความหมาย
ประมาณว่า เป็นสัดส่วยของอะไร คิดเอาไวใช้งานอย่างไร แบบเนี้ยะคับ

ค่า e นะครับรู้สึกว่าจะเป็นอัตราส่วนอะไรซักอย่างเกี่ยวกับดอกเบี้ยนะครับ
เห็นบอกว่าทำให้ง่ายต่อการคำนวณขึ้นมากครับ
รายละเอียดขอลองไปค้นคว้าก่อน

- - เย้ๆๆ พิชญ์กลับมาแล้ววว ^^

ไม่ทราบใช่ e ตัวเดียวกับที่ใช้ในเรื่อง log ป่าวครับ ลองอ่านนี่ดูแล้วกัน ผมอ่านไม่รู้เรื่องง่ะ . ..

Log e is the Natural Logarithm - logarithms which instead of using base 10 use the number e which is 2.71828182845904523560... an interesting number.

First, what are base10 "common logarithms"? See Logarithms Explained. But at least they are based on a sensible number, TEN. Why would someone want to use a different base, such as 2 or 3? And why ever use a really odd irrational number such as the never-ending decimal e which is 2.718281828... , a number of the ilk of PI?

The first thing is that for logarithms you can in theory use ANY base. For example, supposing a jug was said to be a quart, it would be twice as big as a pint. If it was a gallon it would be twice twice twice a pint, (8 pints). Don't worry about the oldfashioned units. The key point is that the word "twice" was used three times, but adding up the words didn't add up the meanings, it multiplied them! This shows logarithms of base 2 being used. And the conjuring trick of logarithms, in which adding up logs makes the actual numbers multiply, works, for any base. The only reason base10 was used as a base for Common Logarithms was because it seemed reasonable at the time, like the way the counting number base was chosen to be 10.

Log e is surely a different matter though, as it's not an integer?

The reason why e is what it is and why it is chosen as a logarithm base is because it is the only logarithm base which has a rate of change the same as the thing which is changing. If something was getting bigger at a rate proportional to how big it was already it would be termed "exponential growth". When you work out equations with these types of changes and rates of change (known as differential equations), it's very handy to have this thing e which changes at a rate the same as itself.

แหล่งข้อมูล : http://www.zyra.org.uk/log-e.htm

มันก็คล้ายกับเรื่องเอกลักษณ์ หรืออินเวอร์สที่เคยเรียนมานั่นละ แต่ว่าคราวนี้เป็นการกระทำภายใต้โอเปอร์เรชันที่เรียกว่า การหาอนุพันธ์ (เป็นโอเปอเรชันแบบข้างเดียว) โดย หาก f(x) เป็นฟังก์ชันใดๆ และ ถ้า

d dx

f(x)

= f(x)

ก็พอจะถือได้ว่า f(x) เป็นเอกลักษณ์ภายใต้การหาอนุพันธ์ ทีนี้คำตอบของสมการนี้คือ f(x) = c e^x ค่าของ e จึงเริ่มปรากฎให้เห็นและ ด้วยความที่ค่าคงที่นี้เราพบเห็นมันบ่อยมากในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสมการอนุพันธ์ รวมทั้งปัญหาอื่นๆด้วย เราจึงตั้งชื่อให้กับมันว่า e(xponential)

---------------------------------------
All numbers are not created equal

e = limit (1+1/n)ⁿ n ---> ฅ

ประมาณว่าอย่างนี้ครับ. ความหมายของมันที่แท้จริงแล้วเราก็ยังไม่ทราบว่ามันหมายความว่าอย่างไร จุดเริ่มต้นของมันพอจะกล่าวได้ว่ามาจากตาราง log ของ Napier ในปี 1618 , มันปรากฏในเรื่องการคำนวณ เช่นเรื่องดอกเบี้ย แล้วก็มีนักคณิตศาสตร์ค่อยศึกษาเรื่องอื่นไปเรื่อยเปื่อย แต่ปรากฏว่ามันก็จะมีการพบค่าประมาณ 2 - 3 ของ e นี้ ในวิชาที่ศึกษา เช่น เรื่องแคลคูลัส , ลำดับและอนุกรม ในภายหลัง ปัจจุบันมีแต่คนพยายามบ้าที่จะหาความละเอียดของ e ไปเรื่อย ๆ ตามสไตล์ ค่าของ p สัญลักษณ์แทน e นี้ออยเลอร์เริ่มใช้ในงานของเขา ทั้ง ๆ ที่รู้กันมานานแล้วว่ามันมีค่าอย่างนี้อยู่ คาดเดาว่าตัว e คงไม่ได้มาจากคำว่า Exponential แต่มาจากสระตัวที่ 2 ในภาษาอังกฤษ คือ ต่อจาก a เพราะงานของออยเลอร์ก่อนหน้านี้เคยใช้ตัว a ไปแล้ว ในปี 1864 , Benjamin Peirce ได้มีสูตรว่า iⁱ = ึep แล้วเขาบอกว่า " ท่านมีผู้เกรียติ เราไม่รู้หรือมีความคิดออกเลยว่าสมการนี้มันหมายความอย่างไร แต่เราเข้าใจว่ามันต้องมีอะไรบางอย่างที่สำคัญแน่ ๆ " คือคงประมาณว่าเขากำลังจะบอกว่าถ้าเราเข้าใจสมการนี้ได้ ก็น่าจะเข้าใจค่าของ e กับ p ซึ่งดูเหมือนว่าเป็นความลับอยู่เบื้องหลังอะไรหลาย ๆ อย่าง :D

iⁱ = e^-pi/2 จึงไม่เท่ากับ sqrt(e*pi) = e^{(1 + ln(pi))/2}
แท้จริงแล้ว e กับ pi มีความสัมพันธ์กันผ่าน สมการของ Euler ที่ว่า
e^ix = cos(x) + i sin(x)
นี่เป็นความสัมพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กโปเน็นเชียล กับ ฟังก์ชันวงกลม ว่ามันโยงใยถึงกันอยู่ :)

e

e มาจากความคิดที่ว่าเราจะหา อินทิกรัลของ 1/x อย่างไร
โดยสมมุติให้
1. อินทิกรัล 1/x = F(x)
2. และเราพบF(x) มีลักษณะสมบัติคล้าย ฟังชั่น log
แต่ยังไม่รู้ว่าฐานอะไร สมมุติเป็น a
3. เพราะงั้น
อินทิกรัลของ 1/x = log.a ( x )

diff( อินทิกรัลของ 1/x )= diff [ log.a (x)]

1/x = lim [ log.a (x+h) - log.a (x) ] / h โดยที่ h-->0


1/x = lim [ log.a (1+h/x) ] / h , h-->0
-


จะได้ a^(h/x) = lim (1+h/x) , h-->0

-


a = lim (1+h/x)^(x/h) , h-->0
-

a = lim (1+h/x)^(x/h) , h-->0
-

a = lim (1+h/x)^(x/h) , h/x -->0
-

หรือ a = lim (1+h/x)^(x/h) , x/h-->inf.
-


นั่นคือ a = 2.7182...


a ก็คือฐานธรรมชาติ ให้ใช้สัญญลักษณ์แทนด้วย e นั่นเอง