ถามเรื่อง Vector calculus (or vector analysis)
 

สวัสดีครับ

ไม่เข้าใจวิธีการตรวจดูว่า F = conservative ?

ที่ผมเข้าใจก็คือเราต้องเอา F มา diff to x, ต่อจากนั้นเราต้อง integrate f to x, แล้วต่อจากนั้นก็ diff to y อีกรอบนึง แล้วต่อจากนั้นผมก็ไม่เข้าใจแล้วนะครับ ว่าต้องทำยังไง ให้มั่วไปมั่วมาแล้วให้มันเท่ากับ diff F to y อีกอันหรือเปล่า

อะไรที่เราต้องการหา ? ผมไม่เข้าใจนะครับ ขอเป็นขั้นตอนแบบ 1 2 3 ได้ไหมครับ

ขอบคุณครับ

เอารูปลงได้สักที

เอาคำตอบไปก่อน จะได้ Potential Function f = $xyz^2+E$ เมื่อ E เป็นค่าคงตัว เอาไว้ค่ำ ๆ เวลาเดิม ๆ จะมาอธิบาย แต่เข้าใจว่าโจทย์มีการหาเพิ่มเติมเพราะกำหนด path k มาให้ด้วยใช่มั้ยครับ...

เราจะกล่าวว่า F conservative เมื่อมีฟังก์ชั้น $\Phi $ ที่ทำให้ $F=\frac{\partial\phi}{\partial x}i_x+\frac{\partial\phi}{\partial y}i_y +\frac{\partial\phi}{\partial z}i_z$

ในที่นี้ จะได้ว่า $\Phi = xyz^2+C$ ส่วนวิธีการหานั้นเราหาได้หลายวิธี

ให้$ F = Pi_x+Qi_y+Ri_z$
โจทย์ข้อนี้ $P = yz^2$ ,$Q=xz^2$ และ $R = 2xyz$

ผมเลือกหาฟังก์ชัน $\Phi$ โดย integrate P เทียบx จะได้
$\Phi$ = $\int yz^2 dx = xyz^2 + g(y,z) $ โดย $g(y,z)$ เป็นค่าคงที่

จาก $\frac{\partial\phi}{\partial y} = Q$ จะได้
$xz^2 +g'(y,z) = xz^2$ so g'(y,z)= 0 จะได้ g(y,z) = h(z)
เขียนฟังก์ชัน$ \phi $ใหม่เป็น $\phi = xyz^2 + h(z) $
จาก $\frac{\partial\phi}{\partial z} = R$ จะได้
2xyz + h'(z) = 2xyz so h'(z) = 0 จะได้ h(z) =C = constant

ดังนั้น$ \phi = xyz^2 + C $

ผมยังงงตอนจบนะครับ ว่าทำไมถึงสรุปว่าเป็น conservative,

h'(z) = 0 <--- เข้าใจ
h(z) = C = constant <--- ไม่เข้าใจนะครับ เพราะอะไรหรอครับ ที่ว่า h(z) = c แล้วแปลว่าเป็น conservative

แล้วที่บอกว่า " เราจะกล่าวว่า F conservative เมื่อมีฟังก์ชั้น Φ ที่ทำให้ F=∂x∂φix+∂φ∂yiy+∂z∂φiz " ดูตรงไหนหรอครับ

ขอบคุณครับ

สรุปคือ ถ้าเราหาฟังก์ชันศักย์ (potential function ) ที่ดิฟเทียบตัวแปรต่างๆ(xyz) แล้วได้ เป็น เวกเตอร์ F ก็สรุปได้เลยว่า F มัน conservative เวลาหาค่า work ก็สามารถเอา จุดปลายไปแทนในฟังก์ชันศักย์ - ด้วยจุดต้นไปแทนในฟังก์ชันก์ศักย์ ก็จะได้งานออกมาครับ

แต่จะหาฟังก์ชันศักย์ได้ ก็ต้องตรวจสอบก่อนว่า มันเป็น F อิสระจากวิธีหรือปล่าว โดย
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} ,\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x} $และ$ \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y}$

ชัดเจนจากคุณ gnopy ผมคงไม่ต้องอธิบายแล้ว เพิ่มเติมว่า เจ้า potential function f มีคุณสมบัติ grad f = F (ที่เหมือนคำถามกระทู้ก่อน)

ค่ำๆของคุณชายน้อยนี่ ตีหนึุ่งครึ่งเลยนะครับ

ค่ำมากจริง ๆ


สำหรับ h(z)=C =Constant = ค่าคงที่ นั้นไม่ได้มีความหมายว่า conservative นะครับ

ตารางเวลาทำงานของผม
เวลาทำงาน 08.30-16.30 น. เวลาครอบครัว 16.30-24.00 น. เวลาอดิเรก บริหารสมอง งานวิจัยและคลายเครียด 00.00 - 03.30 น. นอกนั้นเวลาพักผ่อนครับ ....

นอนแค่ 4 -5 ชั่วโมงเองหรอครับ

ผมก็นอนเวลาประมาณนี้แหละครับ แต่ ตื่นนี่เกือบเที่ยงๆ สงสัยยังเป็นผู้ใหญ่ไม่พอ

ถ้าผมตื่นได้เท่าคุณชายน้อย แสดงว่าผมเป็นผู้ใหญ่แล้วครับ

ผมละอยากอ่านหนังสือดึกถึงตี 3 เหมือนคนอื่นเค้าบ้างจัง
แต่ว่าคืนไหนอ่านดึก เช้ามาไปเรียน เรียนไม่รู้เรื่องเลย มันจะหลับลูกเดียว
เลยต้องเข้านอน 4 ทุ่มนะครับ