ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ทิดมี สึกใหม่ (ข้อความที่ 122034) ข้อสอบประเภทบุคคล IWYMIC ครั้งที่ 5 Given positive integers and , both greater than 1, but not necessarily different. The product is written on Albert’s hat, and the sum is written on Bill’s hat. They can not see the numbers on their own hat. Then they take turns to make the statement as follows: Bill: “ I don’t know the number on my hat.” Albert: “ I don’t know the number on my hat.” Bill: “I don’t know the number on my hat.” Albert: “Now, I know the number on my hat.” Given both of them are smart guys and won’t lie, determine the numbers written on their hats.

จากรูป

ครั้งที่ 1. B เห็น $xy$ แล้วยังตอบไม่ได้ทันที แปลว่า xy จะต้องเป็นจำนวนประกอบ

ดังนั้น $xy = 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...$

ครั้งที่ 2. A ก็รู้ว่าบนหมวกตัวเองจะต้องเป็นจำนวนประกอบ แต่ A เห็น $x+y$ บนหมวก B ก็ยังตอบไม่ได้ แสดงว่า $x+y \ge 5$
(ถ้า $x+y=4$ แล้ว A จะรู้ว่า $(x, y) = (2, 2)$ เท่านั้นทันที เป็นต้น.)

ครั้งที่ 3. B ก็รู้ว่าบนหมวกของเขาจะต้องมีผลบวกมากกว่าหรือเท่ากับ 5 แต่การที่เขาตอบไม่ได้ เพราะว่า เขารู้ $xy$ จากนั้นเขาลองหาค่าของ $x+y$ ที่เป็นไปได้ ปรากฏว่า ได้ผลบวกมากกว่าเท่ากับ 5 อย่างน้อย 2 แบบขึ้นไป เขาจึงยังตอบไม่ได้ :laugh:

ครั้งที่ 4. A ตอบได้เลย แสดงว่า A รู้ว่าการที่ B ยังตอบไม่ได้เพราะ B รู้ว่าบนหมวกของ A มีผลคูณอย่างน้อยมีค่าเป็น 6 ขึ้นไป ($xy \ge 6$) (ถ้าผลคูณเป็น 4 แล้ว B จะต้องตอบได้ตั้งแต่ครั้งที่ 2) และการที่ A ตอบได้เพราะเขามีเพียง 2 ตัวเลือก และสามารถตัดตัวเลือกหนึ่งทิ้งได้ จึงเหลือคำตอบเดียวที่เป็นไปได้

กล่าวคือ A เห็น $x+y=5$ เขาจะรู้ว่า $(x,y) =(1,4),(2, 3) $ เท่านั้นที่เป็นไปได้

แต่การที่ A ก็รู้ว่า $xy \ge 6$ แสดงว่า $(x, y) = (2, 3)$ เท่านั้น.

สรุปว่าบนหมวก A คือ 6 และบนหมวก B คือ 5 :great: