เศษจากการหารครับ
 

เศษจากหาร $\frac{6x^4+x^3-13x^2+2}{2x^2-x-5}$ คือผมอยากรู้ว่าถ้าไม่ใข่วิธีหารยาวแล้วใช้วิธีอะไรได้อีกอ่ะครับ :)

ถ้าหารยาว ไม่สนุก ก็ลองวิธีนี้ครับ คือ แทน $x^2$ ด้วย $\frac{x+5}{2}$ แต่จะเหนื่อยกว่าเดิมนะครับ. :haha:

เช่น $6x^4+x^3-13x^2+2$

ถ้าแทน $x^2$ ด้วย $\frac{x+5}{2}$ จะได้

$6(\frac{x+5}{2})^2+\frac{x+5}{2}\cdot x-13\cdot\frac{(x+5)}{2}+2$

จากนั้นกระจาย แล้วแทนซ้ำ ลงไปเรื่อย ๆ :tired:

จนได้พหุนามกำลังหนึ่ง :great: (เพราะตัวหารเป็นพหุนามกำลังสอง)

ซึ่งในที่นี้จะได้เศษคือ $\frac{48x+48}{4} = 12x+12$

จัดรูปครับ
$6x^4+x^3-13x^2+2=3x^2(2x^2-x-5)+2x(2x^2-x-5)+2(2x^2-x-5)+12x+12$

คุณgonครับ วิธีของคุณgon เอามาจากเรื่องการเขียนพหุนามหรือเปล่าครับ
ที่ว่า $P(x)=Q(x)T(x)+r(x)$
เมื่อให้ $Q(x)$ คือตัวหาร
$T(x)$ คือผลหาร และ $r(x)$ คือเศษ

$6x^4+x^3-13x^2+2=(2x^2-x-5)T(x)+ax+b$
ซึ่งถ้าเราให้ $2x^2-x-5=0$ ซึ่ง $x^2=\frac{x+5}{2} $ ด้วยการแทนค่าของ $x^2$ แล้วแปลงรูปจนได้พจน์ $x$ กำลังหนึ่ง จึงจะเหลือเศษ

ผมเข้าใจแบบนี้ถูกไหมครับ

ทำนองนั้นครับ คุณกิตติ ผมยังไม่มีทฤษฎีบทหรือพิสูจน์ขึ้นมารองรับนะครับ แต่ผมลองตรวจสอบพหุนามบนจำนวนจริง หลาย ๆ กรณี ไม่ว่าจะเป็นรากต่างกัน หรือรากซ้ำ ก็ยังใช้อยู่ตลอด ยังหาที่ยังใช้แล้วผิดพลาดไม่ได้เลย :)