FFTMO10th
 

ก็จะคล้ายๆกับ FFTMO9 นะครับ เเต่อัพเดทให้เป็นปีล่าสุด

Geometry

1. จงแสดงว่า Euler's line ของรูปสามเหลี่ยมที่ มีด้านทั้งสามด้านขนานกัน (คู่ต่อคู่) ขนานกัน

เห็นได้โดยง่ายว่าสามเหลี่ยมสองรูปนี้คล้ายกัน

จริงๆ ข้อนี้ไล่มุมก็น่าจะออกนะครับ ดูดีๆ

อีกวิธีที่น่าจะง่ายกว่าก็ลองใช้ Homothety ดูครับ

ลองดูตัวอย่างจากตรงนี้ http://www.math.ust.hk/excalibur/v9_n4.pdf

กว่าจะเข้ารหัสได้ สุ่มนานเลยย 555 มาต่อให้ครับเห็นเงียบๆ
ส่วนใหญ่เรียงจากง่ายไปยากนะครับ(ยกเว้น NT)
--------------------------------------------------------------

Geometry

1. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (AB<BC) ให้ M,N เป็นจุดบนด้าน AB,BC ตามลำดับซึ่ง AM=CN และ AN ตัด CM ที่ Q และต่อเส้นตรง AB ออกไปทาง B จนถึงจุด L ให้มีความยาวเท่ากับ BC จงแสดงว่า D,Q,L อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

2.(polar) ลากจุด A มาสัมผัสวงกลมๆหนึ่งที่จุด ที่จุด B,C ต่อไปถึงจุด Q แล้วลากเส้นสัมผัสทั้งสองเส้น ที่จุด X,Y จงแสดงว่า A,X,Y อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

3.ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่ง P,Q เป็นจุดใดๆ บน AB,AC ตามลำดับ ถ้า PQ ตัดวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ที่ X,Y จงแสดงว่า จุดกึ่งกลางของ PQ,XY,CP,BQ เป็น concyclic

Number

1.ถ้า p,q,r เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง p>r,q>r จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเฉพาะ p,q,r ที่ $pq|r^p+r^q$

2.จงหาจำนวนนับ n ที่ $2^n|3^n-1$

3.กำหนดให้จำนวนเฉพาะ p ใดจะมี n ซึ่ง $p^n$ มี 0 ติดกัน 2553 ตัว

Algebra

1.ถ้า a,b,c,d>0 และ $\dfrac{1}{a^4+1}+\dfrac{1}{b^4+1}+\dfrac{1}{c^4+1}+\dfrac{1}{d^4+1}=1$ จงแสดงว่า $abcd \geq 3$

2.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข
i.) มี $s \in \mathbf{R}$ เพียงจำนวนจำกัดที่ทำให้ $f(s)=0$
ii.) $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))$

3.(แบบฝึกศูนย์ผมเอง :haha:) ให้ $x_1,x_2,...x_n$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบจงหาค่า C ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
$$\sum_{1 \leq i <j leq n} x_ix_j(x_i^2+x_j^2) \leq C(\sum_{i=1}^n x_i)^4$$

ข้อ 1 เรขา หมายความว่าต่อออกไปให้ $AL=BC$ เหรอครับ??

ถ้าใช่ ก็ใช้เมเนลอสกับรูป $C,B,A,Q$ ครับ

โจทย์เรขาเอาโจทย์ภาษาอังกฤษมาลงได้มั้ยครับ??

ข้อ 1 ผมแต่งเองครับ ใช่แล้วครับ

อีก 2 ข้อก็ของอาจารย์กิจติครับ

ข้อ 1 แสดงให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ??

Alg
1.substituting $a=\sqrt{\tan A},b=\sqrt{\tan B},...d=\sqrt{\tan D}$ the given equality becomes $\sin^2 A+\sin^2 B+...\sin ^2 D=3$ and set $x=\sin^2 A...w=\sin^2 D$
It's suffice to show $$\prod_{cyc} \Big(\dfrac{1}{x}-1\Big)\le \frac{1}{81}=\frac{1}{(x+y+z+w)^4}$$
or equivalent to $xyzw\ge(y+z+w-2x)(x+y+z-2w)(z+w+x-2y)(w+x+y-2z)$
we put $x=\alpha+\beta+\gamma ,y=\beta+\gamma+\eta ,...w=\eta+\alpha+\beta$
It's enough to show $$(\alpha+\beta+\gamma )(\beta+\gamma+\eta)(\gamma+\eta+\alpha)(\eta+\alpha+\beta)\ge 81\alpha\beta\gamma\eta$$
Which is true by AM-GM $\alpha+\beta+\gamma \ge 3\sqrt[3]{\alpha\beta\gamma}$

2.Let the given equation be $e_0$ we clear that $f(x)+f(-x)=0$ get $f(0)=0$ and let $s_i\in\mathbb{R}$ such that $f(s_i)=0$ for any $i=1,2...n$
Let $\mathbb{S}=\left\{\,s_1,s_2...s_n\right\} $ have $n$ elements
put $x=0$ we have $f(x)=f(f(x))...(e_1)$
put $x=s_i,y=0$ get $f(s_i^4)=0$ but $S$ is the finite set so
$$\left\{\,s_1,s_2...s_n\right\} =\left\{\,-s_1,-s_2,..-s_n\right\} =\left\{\,s_i^4,s_2^4..s_n^4\right\} $$
so for any $x\in \mathbb{S}$ then $x\ge 0$ so $s_i=0$ for all $i$ then it's have only $0$ such that $f(0)=0$
so We find $f(x^4)=x^3f(x)...e_2$
from $e_1$ consider $$f(x^4+f(y))=x^3f(x)+f(y)=f(x^4+y)...e_3$$
put $y=-x^4$ in $e_3$ so $f(x^4-f(x^4))=f(x^4+f(-x^4))=0$ so $x^4=f(x^4)=x^3f(x)$
from $e_2$ so $f(x)=x$

GEO1.
ลาก $AQN$ ตัด $CD$ ที่จุด $E$ พบว่า $\triangle AMQ~\triangle QCE$ เเละ $\triangle NCE~\triangle ADE$ ได้ว่า $$\frac{AM}{CE}=\frac{AQ}{QE}=\frac{NC}{CE}=\frac{AD}{DE}\rightarrow \frac{AD}{DE}=\frac{AQ}{QE}\therefore \hat{AQD}=\hat{QDE}$$
ลาก $DQ$ ตัด $AB$ ที่ $L'$ จะได้ว่า $\hat{ADL'}=\hat{DLP'}=\hat{L'DE}\rightarrow L'E=DE$
$\therefore BC=L'E=DE=AL'$ ทำให้ได้ว่า $L=L'$ ดังนั้น $D,Q,L$ collinear

PS ข้อ 2 ผมไม่เข้าใจโจทย์อ่ะ

2. เรขาผมคิดว่าประมาณนี้ครับ " ลากจุด A มาสัมผัสวงกลมๆหนึ่ง ที่จุด B,C จากนั้นต่อ BC (ไปทางจุด B,C ก็ได้) ไปถึงจุด Q แล้วลากเส้นสัมผัสทั้งสองเส้น ที่จุด X,Y จงแสดงว่า A,X,Y อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน"

NT 1. order
2.order (มั้งครับยังไม่แน่ใจ)
3. ยากแค่ตรง p=2,5 เท่านั้นครับ

ปล. ข้อสามเรขาอยากจังเลยย

1.หาจำนวนเต็มบวก m,n ที่ $mn-1|n^3-1$

2.หาฟังก์ชัน $f:\mathbf{R^{+}} \rightarrow \mathbf{R^{+}}$ ซึ่งสอดคล้องกับ $f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(2552y))$

3.จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม x,y ที่ $y^2=x^3+7$

4.ตารางขนาด 12 แถว 12 คอลัมน์ มีเลข 1 อยู่ 50 ตัวจงแสดงว่า จะมีเลข 4 ตัวที่ทำให้เกิดมุมฉาก

combi4

4ตัวเกิดมุมฉากคืออะไรหรอครับ สี่เหลี่ยมมุมฉาก?

NUMBER #3 ของคุณ BLACK-DRAGON
Case $p=2$
พิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนนับ $n$ จะมี $\alpha$ ไม่จำกัดซึ่ง $10^n \ | \ 2^{\alpha+n}-2^n$

ดังนั้นจะมี $\alpha$ ที่มากพอที่ทำให้ $2^{\alpha+n},2^n$ ห่างกันเกิน $n$ หลัก
ทำเช่นเดียวกับเคส $p=5$

COMBI 4
ข้อนี้คล้ายๆ TMO เลยครับ ใช้รังนกพิสูจน์ว่าจะมี 2 แถวที่มีตัวเลขคู่เดียวกัน

NUMBER#2 BLACK-DRAGON
ได้ $n=1,2,4$ โดยพิจารณาคำตอบจากการพิสูจน์สองข้อนี้

(1) If $2^k \ || \ (3^n-1)$ and $k \ge 2$ then $2^{k+1} \ || \ (3^{2n}-1)$
(2) If $2^k \ || \ (3^n-1)$ then $2^k \ || \ (3^{(2m-1)n}-1)$ for all natural $m$

ขอลงคอมบินะครับ

1. มีนักเรียน n คน ซึ่งทุกคนมีความสูงต่างกันหมด ยืนเข้าแถวคละกันโดยไม่คำนึงถึงความสูง โดยครูจะแจกบอลสีแดงและน้ำเงินให้นักเรียนทุกคนโดยแต่ละคน
จะได้รับจำนวนบอลสีแดงเท่ากับจำนวนนักเรียนที่ยืนอยู่ข้างหน้าและเตี้ยกว่าตน และจะได้รับจำนวนบอลสีน้ำเงินเท่ากับจำนวนนักเรียนที่อยู่ข้างหลังและสูงกว่าตน
จงแสดงว่าเมื่อนับจำนวนบอลทั้งสองสีแล้ว จะมีจำนวนเท่ากัน

2.ให้ x เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม m,n ซึ่ง $\dfrac{1}{2555} < mx+n < \dfrac{1}{2012}$

3.ระบายสีทุกด้านและเส้นทะแยงมุมของรูป 12 เหลี่ยมด้วยสีที่มีอยู่ทั้งหมด 12 สี เป็นไปได้หรือไม่ที่ทุก 3 สีใดๆจะมีสามเหลี่ยมที่เชื่อมด้วยสีดังกล่าว 3 รูป