ช่วยหน่อยครับ()
 

จงแสดงว่า
$\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{x+z}} +\frac{1}{\sqrt{z+y}}\geqslant 2$
ถ้า $xy+yz+zx=1$ และ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ

อสมการไม่ sharp ครับ key idea อยู่ที่อสมการ

$\dfrac{1}{\sqrt{x+y}}> \dfrac{2\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

โดย AM-GM
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{z}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 2\sqrt{z(x+y)}$

อสมการที่สองสมมูลกับ

$\sqrt{zx}+\sqrt{zy}\geq zx + zy$

ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก $zx<xy+yz+zx=1$ จึงได้ $zx<\sqrt{zx}$ และ $zy<\sqrt{zy}$ ตามลำดับ

อีกสองอันก็ทำแบบเดียวกัน นำทั้งสามอสมการมาบวกกันก็จะได้คำตอบ