โจทย์บางข้อของกสพท.ปี2553
 

ไปค้นเจอกระทู้ในพันทิพที่มีคนจดข้อสอบคณิตศาสตร์กสพท.ปี2553มาลงให้ดู
กระทู้ในพันทิพ....ช่วยทำข้อสอบเลขหน่อยครับ

ช่วยดูโจทย์หน่อยครับว่าผมเขียนสัญลักษณ์อะไรตกหล่นไปบ้าง เพราะบางเรื่องผมยังไม่ได้ทบทวนเครื่องหมายสัญลักษณ์

1. $A=log_{18}12$ และ $B=log_{54}24$ จงหาค่าของ$\frac{1-AB}{A-B} $

2.จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $log_3(4\cdot 3^x-1) \ , \ log_9(2\cdot 3^{x+1}+2) \ , \ log_3(3^{x+1}+1)$ เป็นลำดับเรขาคณิต
(โจทย์ที่ถูกน่าจะเป็น ลำดับเลขคณิต)

3.ให้ $A = \left\{\,\varnothing ,a,\left\{\,\varnothing ,a\right\} \right\} $, และ $B = P(A)$ และ $S$ เป็นสับเซตของ $B$
จงหาว่ามี $S$ กี่เซต ที่ $S \cap A \not= \varnothing $

4. ให้ $r(x)$ เป็นเศษเหลือจากการหาร $x^{2553}-ax+1$ ด้วย $x^2-1$ ถ้า $r(2) = 17$ จงหา $a$

5. กำหนด$ x$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ $0$ , $P(x)$ เป็นพหุนามที่มีสมบัติ $P(x)P(\frac{1}{x} ) = P(x)+P(\frac{1}{x} )$
และ $P(\frac{1}{2} )= \frac{7}{8} $....เพิ่มเงื่อนไข
จงหา $P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)$

6. กำหนดสมการกราฟ $x^2+y^2+6y+16x+k^2 = 0 $ถ้ากราฟนี้ตัดแกน $Y$ 2จุด แต่ไม่ตัดแกน $X$
จงหาค่า$ K $ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้
สมการที่ถูกต้องน่าจะเป็น $x^2+y^2+6x+16y+k^2 = 0 $

7. กำหนด $A$ เป็นเมทริกซ์ $3x3$ ที่มี $det(A) = 2$ จงหา $det(adj(adj(A)))$

8. กำหนด A เป็นเมทริกซ์ $n\times n$ โดยที่มีสมาชิกเป็นจำนวนตั้งแต่ $1$ ถึง $n^2 $ โดยที่ไม่มีจำนวนซ้ำและมีผลบวกแนวทแยงและหลักเท่ากัน
จงหา $det(A)$ เมื่อ $A$ มีสมาชิกแนวทแยงเป็น $2,5,8$

9. จงหาค่าของ $ \dfrac{sin \ 9x + 6 sin \ 7x +17 sin \ 5x + 12 sin \ 3x}{sin \ 8x + 5 sin \ 6x + 12 sin \ 4x} $

10. ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอล $5 $ลูก แต่ละลูกเขียนตัวเลขไว้ไม่ซ้ำกัน ตั้งแต่ $1$ ถึง $5$ หยิบลูกบอลจากกล่องมา$ 3$ลูก
จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลขบวกกันแล้วเป็นเลขคู่ หรือคูณกันแล้วเป็นเลขคี่

11. ให้สี่เหลี่ยมจตุรัส $ A$ มีพื้นที่ $14\times 14 $ ซม$^2$ จงหาความน่าจะเป็นที่จุดในสี่เหลี่ยมจะห่างจากจุดมุมอย่างน้อยหนึ่งจุด

12. ให้ $a_1,a_2,a_3,...,a_6 $เป็นรากที่$ 7 $ของ $1$ ที่ไม่ใช่ $1$
จงหา $(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)(1-a_4)(1-a_5)(1-a_6)$

13. กำหนดให้ $(pvq) v (rΛs) v (t→u) v (v↔w)$ เป็นประพจน์ จงหาว่ามีกี่กรณีที่ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ขอบคุณมากเลยครับอ่านในพันทิพแล้วตาลาย

มาลองทำดูครับ
ข้อ 4. จากทฤษฎีเศษเหลือให้ $x^2-1=0$
แสดงว่า ถ้ามีเทอม$x^2$ จะกลายเป็น 1
เศษจากการหาร $x^{2553}-ax+1$ด้วย $x^2-1$
จะได้เศษเป็น $r(x)=x-ax+1$
แทน$x=2$จะได้ $2-2a+1=17$
$a= -7$ครับ

ข้อ4.ผมมองอีกแบบจากทฤษฎีการหาร เมื่อหาร$P(x)$ด้วย$Q(x)$
$P(x)=Q(x)T(x)+r(x)$ โดยให้$r(x)$เป็นเศษเหลือจากการหาร และ $T(x)$ เป็นผลหาร
โดยดีกรีสูงสุดของ$r(x)$ต้องน้อยกว่า$Q(x)$
ให้$r(x)=cx+d$
$x^{2553}-ax+1=T(x)(x^2-1)+cx+d$
แทนค่า$x=1$ จะได้ $a+2 = c+d$
แทนค่า$x= -1$ จะได้ $-a = -c+d$
จะได้$d=1$ และ$a=c-1$
จาก$r(2)=17=2c+d \rightarrow c=8$
$r(x)= 8x+1$
จาก$a=c-1$....ดังนั้นได้$a=7$

ที่ถูกต้องเป็นตามนี้ครับ
$2-a = c+d$ และ $a= -c+d$
$d=1 \ , a=1-c$
จาก$r(2)=17=2c+d \rightarrow c=8$
$r(x)= 8x+1$
จาก$a=1-c$....ดังนั้นได้$a= -7$
ขอบคุณคุณOnasdi ที่ช่วยตรวจทานให้:great::great::great:

ลองอ่านเพิ่มเติมจากเวปพระตะบองตามที่ลิ้งค์ให้
ขออนุญาตคุณM@gpieไว้ตรงนี้ด้วยแล้วกันครับ

คุณกิตติลอกโจทย์ผิดรึเปล่าครับ เหมือนว่าคูรกิตติใช้ $P(x)=x^{2553}+ax+1$

ให้ $z=\cos{x}+i\sin{x}$

โดยทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์จะได้

$\sin{nx}=\dfrac{z^n-z^{-n}}{2i}$

ดังนั้น

$ \dfrac{\sin{9x} + 6 \sin{7x} +17 \sin{5x} + 12\sin{3x}}{\sin{8x} + 5 \sin{6x} + 12 \sin{4x}}=\dfrac{(z^9-z^{-9})+6(z^7-z^{-7})+17(z^5-z^{-5})+12(z^3-z^{-3})}{(z^8-z^{-8})+5(z^6-z^{-6})+12(z^4-z^{-4})} $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{z^{18}+6z^{16}+17z^{14}+12z^{12}-12z^6-17z^4-6z^2-1}{z^{17}+5z^{15}+12z^{13}-12z^5-5z^3-z}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{z^2+1}{z}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=z+z^{-1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\cos{x}$

ช่วยเฉลยlogข้อสองที่สิครับ

น่าจะใช่ครับ....เมื่อวานเบลอจัด อยู่เวรมาสองคืนติดกัน ช่วงเย็นเลยแทนเครื่องหมายผิดครับ
ขอบคุณครับที่ช่วยดูให้ เมื่อคืนพอสามทุ่ม ผมแบตหมดหลับเป็นตายเลยครับ
เดี๋ยวกลับไปแก้คำตอบ

จำนวนวิธีทั้งหมด $\binom{5}{3}=10$
หยิบ 3 ลูกแล้วได้ผลบวกเป็นเลขคู่ คือได้เลขคู่ 1 ตัวเลขคี่ 2 ตัว เลือกได้ $\binom{2}{1}\binom{3}{2}=6$ วิธี
ได้ผลคูณเป็นเลขคี่ คือ ต้องไม่ได้เลขคู่เลย เลือกได้ 1 วิธี
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ผลบวกเป็นเลขคู่หรือผลคูณเป็นเลขคี่เท่ากับ $\frac{7}{10}$

เฉลยข้อ 1 ให้ทีจิ ผมทำแล้วมันแปลกๆ คือ เขาบอกค่า log มาหรือป่าวอะ สุดท้ายมันติด

35(log3)^2+25log3log2 ซึ่งก็คือ 11.557 โดยประมาณ สงสัยจะผิด T T

ข้อ1
ให้$log_32=M$
$A=log_{18}12 =\frac{2log_32+1}{log_32+2} =\frac{2M+1}{M+2} $

$B=log_{54}24 =\frac{1+2log_62}{1+2log_63} $
$log_62=\frac{log_32}{log_32+1} =\frac{M}{M+1} $
$log_63=\frac{1}{log_32+1} =\frac{1}{M+1} $
ดังนั้น$B=\frac{3M+1}{M+3} $

$1-AB=\frac{(M+2)(M+3)-(2M+1)(3M+1)}{(M+2)(M+3)} $
$A-B=\frac{(2M+1)(M+3)-(3M+1)(M+2)}{(M+2)(M+3)} $

$\frac{1-AB}{A-B}=5 $
ตอบ $5$

ผมก็มี บางข้อที่ไม่เหมือนกันนี้ เดี๋ยว ลงเพอิ่มให้นะครับ น้อง ม 6 ที่กำลังเตรียมตัวก็พยายามเข้า

ข้อนี้ผมคิดว่าโจทย์น่าจะผิดครับ น่าจะเป็นลำดับเลขคณิตมากกว่า ผมแก้แล้วได้

$3^x = \frac{3}{4}$ ครับ

3.ให้ $A = \left\{\,\varnothing ,a,\left\{\,\varnothing ,a\right\} \right\} $, และ $B = P(A)$ และ $S$ เป็นสับเซตของ $B$
จงหาว่ามี $S$ กี่เซต ที่ $S \cap A \not= \varnothing $

$B = P(A) = 2^3$ = 8 ตัวในเซต B

จำนวนซับเซต ที่ $S \cap A \not= \varnothing $

ขอคิดเป็น จำนวนเซตที่ต้องกาีร = ทั้งหมด - $S \cap A = \varnothing $

$= 2^8 - 2^6(ตัด 2 ตัวออกไป) = 256 - 64 = 192$

6. กำหนดสมการกราฟ $x^2+y^2+16y+6x+k^2 = 0 $ถ้ากราฟนี้ตัดแกน $Y$ 2จุด แต่ไม่ตัดแกน $X$
จงหาค่า$ K $ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้

จัดรูปสมการก่อน ซึ่งสมการที่ได้จึงน่าจะเป็นวงกลม

$(x+3)^2 + (y+8)^2 = 73 - k^2$

ตัดแกน y 2 จุด แต่ไม่ตัดแกน x เลย แปลว่าต้องมีรัศมีห้ามน้อยกว่า 3 แต่ห้ามมากกว่า 8 เพราะไม่งั้น จะทำให้ตัดวงกลมได้

มาดู $73 - k^2$ เราต้องการให้ k มากๆจึงต้องให้รัศมีน้อยๆ k จะได้มากๆ

$73 - k^2 = 9$
$k = \pm 8$
แต่โจทย์เอา k มากสุด = 8