โจทย์อะครับ
a+b+c+1/a+1/b+1/c\leqslant 3+a/b+b/c+c/a โดยabc=1 และa,b,c\succ 0
|
อ้างอิง:
|
Schur's inequality : $x^3+y^3+z^3 + 3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$
Let $x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{c}{a},z=c$. Simplify! |
งงอะครับ ช่วยดูหน่อยนะครับ
แล้วมีวิธีที่ไม่ไช่shur ไหมครับ ผมลืมบอก |
โจทย์ข้อนี้ดัดแปลงมาจาก IMO2000
$\Big(a-1+\dfrac{1}{b}\Big)\Big(b-1+\dfrac{1}{c}\Big)\Big(c-1+\dfrac{1}{a}\Big)\leq 1$ วิธีที่ใช้พิสูจน์คือใช้อสมการ $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$ ซึ่งเป็น Schur's inequality รูปแบบหนึ่งครับ ถ้าจัดรูปจากอสมการที่ถามมาจนถึงอสมการที่เป็นโจทย์ IMO ก็สามารถใช้อสมการ AM-GM ได้ แต่ผมว่าใช้ Schur สะดวกกว่าครับ |
ผมไม่ค่อยเคลียอะครับ
|
อ้างอิง:
อสมการเป็นแบบนี้ครับ |
ผมพิสจน์ผิดครับ
รบกวนพี่ nooonuii ช่วยเฉลย solution เต็มหน่อยได้ไหมครับ ถึงแม้โจทย์จะเป็นแบบนี้$a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ แต่ผมก็ผิดอยู่ดีครับ ถามหน่อยครับ มีโจทย์อสมการหลายข้อที่ต้องพิสูจน์อีกอสมการหนึ่งก่อนพี่ทราบได้ไงครับ ว่าต้องพิสูจน์อสมการนั้นก็ถึงจะออกมาเป็นอสมการที่เราต้องการครับ หรือว่าต้องอาศัยประสบการณ์อย่างเดียวครับ |
อ้างอิง:
แต่เบื้องหลังการถ่ายทำเป็นแบบนี้ Homogenize โดยให้ $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$ อสมการจะสมมูลกับ $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\leq 3 + \dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}+\dfrac{yz}{x^2}$ คูณด้วย $(xyz)^2$ ได้ $xyz[xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)]\leq 3(xyz)^2+(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3$ ให้ $p=xy,q=yz,r=zx$ จะได้อสมการ $p^2(r+q)+q^2(p+r)+r^2(q+p)\leq 3pqr+p^3+q^3+r^3$ $pq(p+q)+qr(q+r)+rp(r+p)\leq 3pqr+p^3+q^3+r^3$ ซึ่งเป็นจริงจาก Schur's inequality |
อ้างอิง:
มันยากแค่ไหนที่จะปิ๊ง!มีอสมการนั้นโผล่ขึ้นมาในหัว ทำโจทย์เยอะๆครับ เหมือนที่หลายคนออกมาแนะนำนั่นแหละ พวกเขาเหล่านี้ต่างรู้ดีว่าทำโจทย์เยอะๆแล้วมันได้ผล แต่บอกอะไรมากไปกว่านั้นไม่ได้เพราะเราต้องทำเองถึงจะรู้ พระพุทธองค์เคยตรัสไว้ว่า "ผู้ใดเห็นธรรม ผู้นั้นเห็นเรา" หมายความว่า ถ้าเราไม่ปฎิบัติธรรม เราก็ไม่มีวันได้พบกับพระพุทธองค์ เพราะพระพุทธองค์คือ ธรรม ธรรมคือ พระพุทธองค์ การเรียนก็เช่นกัน ถ้าเราไม่ปฎิบัติให้เห็นจริง ก็เข้าถึงแก่นของวิชานั้นๆได้ยากครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:51 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha