Limit
 

กำหนดให้ $L_n=\sqrt[n+1]{(n+1)!} -\sqrt[n]{n!}$
จงพิสูจน์ว่า
$\lim_{n \to \infty}L_n=\frac{1}{e}$

พิสูจน์... เป็นเท็จครับ คำตอบคือ $\lim_{n \to \infty}L_n=0$ โดยการให้ $f(x)=\sqrt[x+1]{(x+1)!} -\sqrt[x]{x!}$ แล้วใช้ L'Hostipal Rule กับ Indeterminate Form ${\infty }^{0 }$ ในแต่ละพจน์ของ f(x) จะได้ว่า $f(x) \rightarrow 0$ เมื่อ $n\rightarrow \infty $ เพราะฉะนั้น $L_n\rightarrow 0 $ เมื่อ $n\rightarrow \infty $

สวัสดีเจ้าค่ะ...

เอ... สงสัยตรงที่ว่า $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = 0$ น่ะเจ้าค่ะ

เพราะว่า $(n+1)^n > n!$ (แต่ละพจน์ที่มาคูณกันของฝั่งซ้ายมากกว่าแต่ละพจน์ของฝั่งขวา) ดังนั้น
$$\left(\,\frac{(n+1)!}{n!}\right)^n > n! \rightarrow ((n+1)!)^n > (n!)^{n+1}$$
นั่นคือ $\sqrt[n+1]{(n+1)!} > \sqrt[n]{n!}$ แสดงว่าลำดับนี้เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ แล้วค่าเริ่มต้นด้วย $(1!)^\frac{1}{1}=1$ ต่อให้ลู่เข้า ลิมิตก็ต้องมีค่ามากกว่า $1$ อยู่แล้วไม่ใช่เหรอเจ้าคะ?
กำลังคิดอยู่ว่าตรงที่มีปัญหาคือตอนเปลี่ยนจากตัวแปร $n \in \mathbb{N}$ ไปเป็น $x \in \mathbb{R}$ น่ะเจ้าค่ะว่าจริงๆ มันจำเป็นต้องใช้ gamma function รึเปล่า (เพราะไม่คิดว่าฟังก์ชันอย่าง $f(x)=x!$ จะหาอนุพันธ์ได้ตรงๆ ในรูปนั้นน่ะเจ้าค่ะ)

ค่าเริ่มต้นด้วย $(1!)^\frac{1}{1}=1$ ต่อให้ลู่เข้า ลิมิตก็ต้องมีค่ามากกว่า $1$ อาจจะไม่แน่เสมอไปครับ เพราะเราต้องพิจารณาที่ $ \sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!} > 0 $ ครับผม ซึ่งในกระบวนการของลิมิตอาจมีคำตอบที่เป็น inf ในอสมการก็ได้ครับ ....

กำหนดให้ $f(x) = \sqrt[x+1]{(x+1)!}-\sqrt[x]{x!}$ จะได้ว่า
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \sqrt[x+1]{(x+1)!} - \lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x!} = A-B $$ โดยที่ $A =\lim_{x \to \infty} \sqrt[x+1]{(x+1)!} , B= \lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x!} $ ต่อไปหา A , B = ?

ให้ $y = \sqrt[x+1]{(x+1)!} $ จะได้ว่า $$ \lim_{x \to \infty} ln y = \lim_{x \to \infty} ln( \sqrt[x+1]{(x+1)!}) = \lim_{x \to \infty} \frac{ln((x+1)!)}{x+1} \left(\,\right. \frac{\infty }{\infty } \left.\,\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d((x+1)!)}{dx} }{(x+1)!} = 0 $$
เพราะว่า ดีกรีของ $ \frac{d((x+1)!)}{dx} $ < ดีกรีของ (x+1)! เสมอ เพราะฉะนั้น $ ln(\lim_{x \to \infty} y) = 0 $ นั่นคือ A = $ \lim_{x \to \infty} y = {e}^{0} = 1 $
ในทำนองเดียวกันจะได้ B = 1 เพราะฉะนั้น $ \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 $ แต่ Point of Sequence $L_n$ อยู่ใน Function f(x) ดังนั้น $ \lim_{n \to \infty} L_n = 0 $ #

ยืนยันว่าคำตอบของโจทย์ถูกครับ จากการถามน้องเปิ้ล:p

ผมตั้ง conjecture ไว้ว่าอสมการต่อไปนี้เป็นจริง

$\dfrac{1}{e}\leq \sqrt[n+1]{(n+1)!} -\sqrt[n]{n!} \leq \dfrac{1}{e}(1+\dfrac{1}{n})$

ซึ่งถ้าเป็นจริงก็ใช้ Squeeze Theorem ได้ครับ

ช่วงนี้ผมยุ่งมากๆเลยไม่มีเวลามานั่งลุยโจทย์ยากๆแบบนี้

ขอฝากให้ผู้ที่สนใจลองพิสูจน์หรือยกตัวอย่างค้านมาก็ได้ครับ

ถ้าจริงคิดว่า induction น่าจะเอาอยู่

อีกวิธีที่ผมคิดว่าน่าจะได้คือใช้ Stirling's approximation ครับ:rolleyes:

สวัสดีเจ้าค่ะ...

ก่อนอื่นเพื่อให้ชัดเจน ลิมิตที่พูดถึงก่อนหน้านี้คือ $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$ นะเจ้าคะ ที่จะพิมพ์ต่อไปนี้ไม่ทราบว่าถูกต้องรึเปล่า แต่ยังไงก็ช่วยตรวจดูให้หน่อยนะเจ้าคะ
สมมติว่า $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = L \leqslant 1$ จะได้ว่าสำหรับทุกๆ $\epsilon > 0$ จะมี $n_0 \in \mathbb{N}$ ซึ่งทุกๆ $n \geqslant n_0$ จะได้ว่า
$$\left|\,\sqrt[n]{n!} - L\right| < \epsilon$$
คราวนี้เราเลือก $0< \epsilon < \sqrt{2} - 1$ ขึ้นมาตัวนึง ทีนี้มันก็จะมี $n_0$ ขึ้นมาใช่มั้ยเจ้าคะ? ตรงนี้เราเลือก $n = n_0 + 1 \geqslant 2$ แล้วก็จะได้ว่า
$$\left|\,\sqrt[n]{n!} - L\right| \geqslant \left|\,\sqrt{2} - L\right| = \sqrt{2} - L \geqslant \sqrt{2} - 1 > \epsilon$$
จึงเกิดข้อขัดแย้งเจ้าค่ะ เพราะฉะนั้นถ้าลำดับ ${\sqrt[n]{n!}}$ มีลิมิต $L$ แล้วจะได้ว่า $L > 1$ เสมอเจ้าค่ะ

ประเด็นอยู่ที่ว่าต่อให้ $L>1$ แต่ถ้ามีลิมิต ก็จะได้ว่าโจทย์ข้อนี้ต้องตอบ $0$ ดังนั้นจริงๆ แล้วลำดับ $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$ คงจะไม่มีลิมิตหรอกเจ้าค่ะ (คือลู่ออก)

ผมอยากเพิ่มเติมนิดหน่อยครับ ถ้าเรามีลำดับ $c_n=a_n-b_b$
เราไม่สามารถบอกได้ว่า $\lim_{x \to \infty}c_n=\lim_{x \to \infty}a_n-\lim_{x \to \infty}b_n$
นอกเสียจากว่า เราแน่ใจได้ว่า $\lim_{x \to \infty}a_n$ และ $\lim_{x \to \infty}b_n$ หาค่าได้ทั้งคู่
เราถึงจะได้ทฤษฎีนั้นครับ

solution
link:http://rapidshare.com/files/176070086/868.pdf.html

ลืมหัวข้อนี้ไปนาน รู้ว่า Solve ผิด เพราะ chk กับ Mathematica และไม่มีเวลาดูต่อครับ
ขอบคุณมากครับสำหรับไฟล์ Solution

ช่วยอัพโหลดไว้ที่อื่นหน่อยครับ อย่างเช่น mediafire ขอบคุณมากครับ ลิงค์ RS มันเป็นอะไรไม่รู้ครับ

link:http://www.mediafire.com/?vn3190lw15c

ขอบคุณมากครับผม :)