ข้อสอบโควตาขอนแก่น 2557 ค่ะ
 

ให้ d เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง d/(n-1)^2 +3 และ d/2n+1 สำหรับบางจำนวนเต็มบวก n แล้วผลบวกของค่า d ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด


รบกวนช่วยสอนวิธีทำด้วยค่ะ ขอบคุณมากค่ะ

ให้ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $d\left|\,\right.(n-1)^2 +3$ และ $d\left|\,\right. 2n+1$
สำหรับบางจำนวนเต็มบวก $n$ แล้วผลบวกของค่า $d$ ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด

ไม่รู้ว่าผมจะทำถูกไหม
ผมเริ่มจาก เมื่อ $a,d$ เป็นจำนวนเต็มและ $d\not= 0$ จะได้ว่า
1.ถ้า $d\left|\,\right. a$ แล้ว $d\left|\,\right. a^2$
2.ถ้า $d\left|\,\right. a$ และ $c\not= 0$ แล้ว $d\left|\,\right. ca$
3.ถ้า $d\left|\,\right. a$ และ $d\left|\,\right. b$ แล้ว $d\left|\,\right. a+b$
4.ถ้า $d\left|\,\right. a$ และ $d\left|\,\right. b$ แล้ว $d\left|\,\right. ax+by$

$d\left|\,\right. (n-1)^2+3$ และ $d\left|\,\right. 2n+1$
$d\left|\,\right.(2n+1)^2$
$d\left|\,\right.4n^2+4n+1$.....(1)
$d\left|\,\right. n^2-2n+4$
$d\left|\,\right. 4(n^2-2n+4)$
$d\left|\,\right. 4n^2-8n+16$.....(2)
จาก(2) $d\left|\,\right.(-1)(4n^2-8n+16)$.....(3)
จาก(1)และ(3)
$d\left|\,\right.(4n^2+4n+1)+(-1)(4n^2-8n+16)$
$d\left|\,\right.12n-15$......(4)
จาก $d\left|\,\right. 2n+1$
$d\left|\,\right. 6(2n+1)$
$d\left|\,\right. 12n+6$.....(5)
จาก (4) $d\left|\,\right.(-1)(12n-15)$.....(6)
จาก (5)และ(6)
$d\left|\,\right.(12n+6)+(-1)(12n-15)$
$d\left|\,\right.21$
ดังนั้น $d$ เป็นตัวประกอบของ $21$ คือ $1,3,7,21$
ผลบวกของค่า $d$ ทั้งหมดเท่ากับ $1+3+7+21=11+21=32$

เพิ่งเอาไปลงในเพจคณิตม.ปลาย
มีคนแก้โดยใช้แค่ ถ้า $d\left|\,\right. a$ และ $d\left|\,\right. b$ แล้ว $d\left|\,\right. ax+by$
โดยให้ $a=4,b=5-2n$
$d\left|\,\right. (n-1)^2+3$ และ $d\left|\,\right. 2n+1$
$d\left|\,\right. 4((n-1)^2)+(5-2n)(2n+1)$
$d\left|\,\right. 21$

ไม่ร่ายยาวแบบคลำทางไปเรื่อยแบบที่ผมคลำทาง