06/09/2558 สอวน.มข. 58
 

เมื่อวันอาทิตย์มีโอกาสได้ไปสอบมาค่ะ (คงไม่ติดแน่ๆ)
ข้อสอบ 6 ข้อ 3 ชั่วโมง แสดงวิธีทำ

ข้อสอบ สอวน. ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่น คัดเลือกนักเรียนเข้าค่าย 1 ปี 2558

1. จงหาจำนวนนับทั้งหมด ที่ทำให้ $8^n-3$ หารด้วย 5 ลงตัว

2. จงหาวิธีการเรียงแผ่นกระดาษ ที่เขียนหมายเลข 1 ถึง 12 นำมาเรียงเป็นวงกลม โดยที่ผลรวมของตัวเลขบนแผ่นกระดาษที่ติดกัน 3 แผ่น น้อยกว่า 19

3. $X\cup Y =\left\{a,b,c,d,e,f\,\right\} $
X มีจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนคู่ Y มีจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนคี่
จงหาจำนวนวิธีในการสร้างเซต X และ Y

4. จงหาเซตคำตอบของอสมการ $(x^2+x+1)^2>7x(x-1)^2$

5. พิจารณาสี่เหลี่ยม ABCD เป็นดังนี้
มีมุม DAC=มุม DBC =90 องศา
พื้นที่วงกลมที่แนบใบสามเหลี่ยม ADE มีพื้นที่เป็น 4 เท่าของพื้นที่วงกลมที่แนบในสามเหลี่ยม BEC
$2\cdot AB^2=DC^2=40+16\sqrt{2} $
จงแสดงวิธีการหาขนาดมุม ADB และพื้นที่ของสามเหลี่ยม ADE (จุด E คือจุดที่ AC และ BD ตัดกัน)

6. จงหาคู่อันดับ (p,r) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
1) p เป็นจำนวนเฉพาะ
2) $r=q^m$ เมื่อ q เป็นจำนวนเฉพาะ m เป็นจำนวนเต็มบวก บางตัว
$r=9q'$ เมื่อ q' เป็นจำนวนเฉพาะ q'>3 บางตัว
3) $p^3=r+8$

เอ่อ พอดีลงปีที่สอบผิดไปค่ะ ที่หัวข้อ แก้ยังไงคะ เดี๋ยวเกิดความสับสน

1. $n=4k+1$

2. $0$

3. $182$

4. $\mathbb{R} $

5. E นี่เป็นจุดใดๆเลยเหรอครับ

6. จากข้อ 2 ตรง $r=q^m$ จะได้ว่า $r$ มีตัวประกอบเฉพาะตัวเดียว แต่ตรง $r=9q'$ จะได้ว่า $r$ มีตัวประกอบเฉพาะสองตัว น่าจะจำผิด ไม่งั้นก็ตอบ0

ขอโทษค่ะ ลืมๆๆ จุด E คือจุดที่เส้น AC และ BD ตัดกันค่ะ

อยากรู้เฉลยของข้อ 2 จังเลยค่ะ คิดยังไงคะ ขอบคุณค่ะ

แบ่งเลขเป็น4กลุ่ม กลุ่มละ3ตัว โดยทั้ง3ตัววางอยู่ติดกัน จากตัวเลขทั้งหมดรวมกันได้ 78 จะได้ว่าต้องมีกลุ่มที่ผลรวม $\geqslant \frac{78}{4} = 19.5$

5) 45 องศา / 8 ตารางหน่วย

ข้อ3ทำอย่างไรครับ

ข้อ 4 พิสูจน์กรณี $x \in \mathbb{R}^+$ ยังไงครับ

ข้อ 3.
1) กรณี $n(X) = 1 \rightarrow$ สร้าง $X$ ได้ $\binom{6}{1}$ วิธี
กรณีนี้ $n(Y)$ ต้องเท่ากับ $6$ เท่านั้น จึงจะได้สมาชิกครบในยูเนียน ดังนั้น สร้าง $Y$ ได้ $1$ วิธี
กรณีแรกนี้ $\binom{6}{1} \times 1 = 6$ วิธี

2) กรณี $n(X) = 3 \rightarrow$ สร้าง $X$ ได้ $\binom{6}{3}$ วิธี
กรณีนี้ $n(Y)$ อาจเป็น 4 หรือ 6 จึงจะได้สมาชิกครบในยูเนียน
ถ้า $n(Y) = 4$ แปลว่า $Y$ ต้องมีสมาชิกสามตัวยืนพื้นเป็นตัวที่ไม่ถูกเลือกไปสร้าง $X$ ดังนั้น สร้าง $Y$ โดยเลือกสมาชิกที่เหลืออีก 1 ตัว ได้ $\binom{3}{1}=$ 3 วิธี
ถ้า $n(Y) = 6 \rightarrow$ สร้าง $Y$ ได้ 1 วิธี
กรณี 2 นี้ ได้ $\binom{6}{3}\cdot (3+1) = 80$ วิธี

3) กรณี $n(X) = 5 \rightarrow$ สร้าง $X$ ได้ $\binom{6}{5}$ วิธี
กรณีนี้ $n(Y)$ อาจเป็น 2, 4 หรือ 6 ก็ได้
ถ้า $n(Y) = 2$ แปลว่า $Y$ ต้องมีสมาชิก 1 ตัวยืนพื้นเป็นตัวที่ไม่ถูกเลือกไปสร้าง $X$ ดังนั้น สร้าง $Y$ โดยเลือกสมาชิกที่เหลืออีก 1 ตัว ได้ $\binom{5}{1}=$ 5 วิธี
ถ้า $n(Y) = 4$ แปลว่า $Y$ ต้องมีสมาชิก 1 ตัวยืนพื้นเป็นตัวที่ไม่ถูกเลือกไปสร้าง $X$ ดังนั้น สร้าง $Y$ โดยเลือกสมาชิกที่เหลืออีก 3 ตัว ได้ $\binom{5}{3}=$ 10 วิธี
ถ้า $n(Y) = 6 \rightarrow$ สร้าง $Y$ ได้ 1 วิธี
กรณีนี้ได้ $\binom{6}{5}(5 + 10 + 1) = 96$ วิธี

รวม 182 วิธี