ขอถามพื้นฐานหน่อยครับว่าดิฟคืออะไรครับ
 

คือผมศึกษาเลขด้วยตัวเองแล้วไม่เข้าใจครับว่าจริงๆแล้วดิฟเนี่ยคืออะไรกันแน่
แบบว่าถ้าดิฟคือความเปลี่ยนแปลงมันก็น่าจะมีจุุดเริ่มต้นแล้วก็จุดสิ้นสุดเอามาเทียบกัน
แต่ถ้าเราซอยเล็กลงไปเรื่อยๆจนเป็นจุดงั้นความเปลี่ยนแปลงนี้น่าจะเป็นมุมความชันของกราฟที่น่าจะมีหน่วยเป็นองศา
คืออยากรู้ครับว่าถ้าอธิบายจากกราฟแล้วดิฟมันอยู่ตรงไหนครับติดตรงนี้มานานมีใครช่วยอธิบายให้หน่อยได้ไหมครับ

ความชันของเส้นที่สัมผัสกราฟที่จุดใดจุดหนึ่งครับ

ถ้าเป็นความชันทำไมหน่วยมันถึงไม่ใช่พวกองศาครับ แบบดิฟความเร็วรถได้สูตรของอัตตราเร่งรถมา แทนค่าได้ตัวเลขมา ตัวเลขนี้มาจากไหนของกราฟความเร็วรถครับ

อ่อเก็ตแล้วครับว่า m/s มันเป็นเส้นตรงซึ่งมีมุมที่แน่นอน ถ้าเข้าใจถูกความเร็วและความเร่งถึงเป็นมุมใช่ไหมครับ

ผมว่ามุมมันได้มาจากการมองอีกแบบหนึ่งหรือเปล่าครับ
ความชันตามที่คุณ Pitchayut บอกก็คือ
อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่งที่ขึ้นกับตัวแปรหนึ่ง

ซึ่งถ้าลองมาพิจารณาความเร็วและความเร่งดูแล้ว
ความเร็วก็คือระยะทางที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา
ความเร่งก็คือความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา
มันก็คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของอะไรอย่างหนึ่งไม่ใช่หรอครับ?

การมองให้มันเป็นมุมอาจจะได้จากการที่เรามาหาค่ามุมกันอีกที
ลองคิดดูแล้วจะวัดมุมจากกราฟเลยอาจจะยากนะครับ ถ้าไม่ใช้ตรีโกณฯเลย
เราเลยได้ว่า $m=tan\theta$ มาช่วยในการหามุมครับ

ส่วนตัวคิดว่าเป็นเช่นนี้นะครับ การดิฟมันเลยช่วยให้มอง "ผลต่าง" ที่เกิดขึ้น
ที่ขึ้นกับหน่วยหนึ่งได้ ในที่นี้ (ความเร็ว/ความเร่ง) ก็คือเวลาไงครับ

ผมกำลังคิดแบบว่าสมมุติ ถ้าเราเร่งเครืองรถให้เร็วขึ้น กราฟก็จะชันขึ้นใช่ไหมครับ งั้นขีดจำกัดความเร็วก็คือเราไม่สามารถทำกราฟให้เป็นมุมฉากได้คือถ้าดิฟออกมาแล้วมีความเร็วหรือความเร่งมากกว่าค่าค่าหนึ่งกราฟนั่นจะม ีจุดที่ขาดใช่ไหมครับ ถ้าเราจะยกตัวอย่างง่ายๆก็ข้อจำกัดนี้ ทำให้เกิดข้อจำกัดต่างๆทางกายภาพ ความเร็วสูงสุด(ความเร็วแสง) จำนวนแกนมากสุด(3มิติ เพราะว่าจำนวนแกนคือส่วนกลับของดิฟ) และอื่นๆอีก แต่ผมกำลังสงสัยว่าแล้วทางจิตนภาพเนี่ยมันมีข้อจำกัดแบบเดียวกันไหมครับแบบ ถ้าฟังชั่นนี้มีค่าดิฟเกินกว่านี้ฟั่งชั่นนี้จะมีจุดขาดหรืออะไรแปลกๆอะครับ

Q:งั้นขีดจำกัดความเร็วก็คือเราไม่สามารถทำกราฟให้เป็นมุมฉากได้คือถ้าดิฟออกมาแล้วมีความเร็วหรือความเร่งมากกว่าค่าค่าหนึ่งกราฟนั่นจ ะมีจุดที่ขาดใช่ไหมครับ

A:ขาดยังไงเหรอครับ แบบเป็นรูๆอะเหรอ?

Q:ทำให้เกิดข้อจำกัดต่างๆทางกายภาพ ความเร็วสูงสุด(ความเร็วแสง) จำนวนแกนมากสุด(3มิติ เพราะว่าจำนวนแกนคือส่วนกลับของดิฟ) และอื่นๆอีก

A:ทำไมจำนวนแกนถึงเป็นส่วนกลับของดิฟอะครับ?

Q:แต่ผมกำลังสงสัยว่าแล้วทางจิตนภาพเนี่ยมันมีข้อจำกัดแบบเดียวกันไหมครับแบบ ถ้าฟังชั่นนี้มีค่าดิฟเกินกว่านี้ฟั่งชั่นนี้จะมีจุดขาดหรืออะไรแปลกๆอะครับ

A: กำลังพูดถึงเรื่องไหนเหรอครับ Differentiable ของ Complex function หรือข้อจำกัดทางทฤษฏีอื่นๆ ?

Q:งั้นขีดจำกัดความเร็วก็คือเราไม่สามารถทำกราฟให้เป็นมุมฉากได้คือถ้าดิฟออกมาแล้วมีความเร็วหรือความเร่งมากกว่าค่าค่าหนึ่งกราฟนั่นจ ะมีจุดที่ขาดใช่ไหมครับ

A:ขาดยังไงเหรอครับ แบบเป็นรูๆอะเหรอ?

แบบถ้าเราคิดว่าดิฟเป็นมุมความชั่นของกราฟถ้ามุม 90 องศาก็คือกราฟตรงนั่นตั้งฉาก ถ้ามุมมากกว่านั่นเช่น 95 องศา ก็คล้ายๆกับว่ากราฟนั่นย้อนกลับแสดงว่าจุดที่ย้อนกลับนั่นมีคำตอบได้มากกว่า1 ทำให้สมการนั่นไม่ใช่ฟังชั่น ฉะนั่นจึงน่าจะมีขีดจำกัดว่าสมการที่ย้อนกลับได้จะมีการขยายตัวไม่เกินค่าๆนึง

จำนวนแกนเพิ่มขึ้นเมื่ออินติเกตครับ

จิตนภาพ หมายถึงตัวเลขบนกระดาษครับ ตรงกันข้ามกับ กายภาพหมายถึงโลกที่จับต้องได้
แบบมีขีดจำกัดตัวคูณที่ใหญ่ที่สุดที่เราจะคูณได้ในการคูณครั้งเดียวไหม ไม่ได้หมายถึงว่าการคูณเลขใหญ่ๆเป็นไปไม่ได้นะครับ แต่เราต้องแยกเป็นขั้นตอนเล็กๆ แบบมีขีดจำกัดต่ำสุดของความขั้นตอนที่เราจะคำนวนปัญหาๆนึงเมื่อเทียบกับขนาดตัวแปร ซึ่งถ้าเราพยายามทำด้วยขั้นตอนน้อยกว่านั่นระบบจะไม่เสถียร

มันคงไม่มีประโยชน์อะไร ถ้าหากสิ่งที่คุณพยายามนำเสนอเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ให้รัดกุมไม่ได้

แนวคิดตรงนี้เหมือนเป็นแนวคิดที่คุณเคยเอามาถกแล้วในนี้

คุณต้องเขียนออกมาเป็นภาษาของคณิตเท่านั้นครับ เพื่อให้สื่อสารกันรู้เรื่อง

ไม่งั้นมันจะเป็นการสื่อสารทางเดียวเอานี่สิ นิยามความเสถียรให้ดูหน่อย ? ความเสถียรของอะไร ?

โชว์ให้ดูหน่อยว่า จำนวนแกนกับการดิฟหรืออินทิเกรตสัมพันธ์กันยังไงบ้าง

โชว์แบบ proof อะครับ มีภาษาคณิตศาสตร์ที่แน่นอน ตรงนี้ผมยังงงๆอยู่เลย

เดี๋ยวมันจะเป็นการสื่อสารทางเดียว รักเราไม่เท่ากันไปนี่สิ

งั้นขอตอบประเด็นแรกก่อนละกัน ขอยกตัวอย่าง ความเร็วรถ m/s ซึ่งเราอาจมอง ความเร็วนี้ที่ระยะเวลาหนึ่งๆเป็นกราฟเส้นตรงก็ได้ เรามาลองวัดมุมจากจุดเริ่มต้นเราจะพบว่าถ้าเราขับรถเร็วขึ้นกราฟจะชั่นขึ้น ในโลกกายภาพมีความเร็วสูงสุดคือความเร็วแสง ถ้ามองความเร็วแสงเป็นมุมก็คือมุมที่ทำให้ความเร็วตั้งฉาก บางคนบอกว่าถ้าเร็วกว่านั่นอีกเวลาจะย้อนกลับซึ่งเราจะไม่พูดตรงนี้เพราะมันไม่มีประโยชน์เพราะพิสูจน์ไม่ได้แต่ให้เราคิดว่าเราเร่งควา มเร็วแล้วองศาของกราฟมากขึ้นเรื่อยๆตามความเร็วที่มากขึ้นจนจุดหนึ่งองศามากกว่า90หรือมุมฉากกราฟจะย้อนกลับเมื่อกราฟย้อนกลับมาลองคิดด ูแบบกราฟมันมวนกลับมาถ้าเราลากเส้นตัดกราฟ ณ เวลาหนึ่งๆ เส้นนั่นจะตัดมากกว่าหนึ่งจุด ทำให้สมการที่จุดนั่นมีหลายคำตอบ ซึ่งถ้าเราไม่ไปเร่งความเร็วขนาดนั่นสมการเราจะมีคำตอบเดียว ซึ่งผมนิยามความคลุมเครือนี้ว่าความไม่เสถียรที่เกิดจากการขยายตัวที่เร็วเกินไป

ผมต้องขอโทษจริงๆครับที่ไม่สามารถนิยามเป็นาษาคณิตศาสตร์ได้เพราะไม่ได้เรียนมาแล้วถถ้าพยายามก็อาจใช้นิยามผิดซึ่งมันอาจจะแย่กว่านี้ค รับจริงผมก็พอมีเวลาแต่ไม่รู้จะเริ่มตรงไหนครับ

ส่วนพื้นที่เป็นส่วนกลับของความเร็วนั่นอธิบายได้ดังนี้ ดิฟ มีหน่วยเป็น dy/dx อินติเกรต มีหน่วยเป็น dy*dx อะคูณตรงข้ามกับหาร ซึ่งที่จริงแล้วนิยามมันคือพื้นที่ใต้กราฟอะ ถ้าเป็นขับรถก็ ความเร็วรถเป็น m/s ทีนี้เวลาเราลองอินติเกรตดูเราจะได้ระยะทางว่ารถไปไกลเท่าไหรแล้วมีหน่วยเป็น m ซึ่งคือ x*yอะ ถ้าเราอินติเกรตต่อไปอีกก็จะเป็น m*s^2 คือระยะทางที่เคลื่อนที่ของจุดบนพื้นที่สองมิติ มีหน่วยเป็น m*s^2 อะ ถ้าไม่พอใจกับนิยามของแกนจะเปลี่ยนเป็น m^2*sก็ได้นะ
แต่ประเด็นคือถ้าเราจำกัดจำนวนแกนความเร็วก็จะถูกจำกัดไปด้วยอะแบบว่าด้วยพลังงานเท่ากันวัตถุจะเคลื่อนที่ในแนวโค้งได้เร็วกว่าเคลื่อน ที่เป็นเส้นตรงอะเดาเอานะ

ถ้าผิดตรงไหนก็ช่วยแก้ด้วยนะครับไม่รู้จะไปค้นข้อมูลเพิ่มเติมด้วยคียอะไรครับ

สิ่งที่ว่ามามันก็มีความน่าสนใจอยู่นะครับ คือถ้าผมไม่มีความรู้ทางคณิตศาสตร์เลยผมก็จะไม่สนใจข้อสังเกตที่ว่ามานี้เลย คืออย่างงี้ครับผมขอยกตัวอย่างเรื่องมุมนะครับ ถามว่าค่า $cos\theta $มีค่าเกิน1ได้ไหม? เราท่องจำกันมาตลอดว่า cosห้ามเกิน1? แต่ถ้าใครศึกษาเรื่องจำนวนเชิงซ้อนมาก็จะรู้ว่า $cos\theta =\frac{e^{\theta i}+e^{-\theta i}}{2} $ หรือ $cos(\theta i) =\frac{e^\theta+e^{-\theta} }{2} $ ก็จะเห็นว่า $cos(1.317i)\approx 2$ เพราะฉะนั้นข้อสังเกตที่คุณพูดมามันน่าจะอยู่ในแขนงของการวิเคราะห์จำนวนเชิงซ้อนกับพวกการวิเคราะห์ฟังก์ชันอะไรพวกนี้ในคณิตศาสตร์มาก กว่านะครับ ส่วนแนวคิดทางกายภาพอะไรนั้นผมก็ยังไม่ค่อยจะเข้าใจสักเท่าไหร่:aah:

.......ในทางฟิสิกส์นะครับ ถ้าได้ฟังก์ชันความเร็ว$(v)$ เขียนในรูปมุม$\theta $ได้ฟังก์ชันเป็น $v=(c)cos\theta $ จากข้อจำกัดมุม$\theta \in จำนวนจริง$ ก็จะได้ว่า $-c\leqslant v\leqslant c$ แต่ถ้าเราเปลี่ยนบริบทของมุม$\theta $ให้ก้าวล่วงไปในเขตปริภูมิของจำนวนจินตภาพ (เช่นถ้าเราคิดว่าเวลาเป็นจำนวนจินตภาพได้) ในทางคณิตศาสตร์แล้วความเร็วก็มีสิทธิ์ที่จะมากกว่า $c$ ได้นะครับ......แต่มันก็จะเกิดข้อขัดแย้งล่ะครับเพราะมันขัดกับทฤษฎีทางฟิสิกส์