Inequality Marathon
เห็นกระทู้ Number theory Marathonไปได้สวย อีกอย่างที่นี่คออสมการเยอะ ผมก็เลยขอเปิดอสมการมาราธอนโดยใช้ไอเดียเดียวกันกับกระทู้ Number Theory Marathon โดยที่คำถามจะเป็นอสมการพีชคณิตหรือเรขาคณิตก็ได้ ความยากตั้งแต่ pre olympiad เป็นต้นไป ว่าแล้วก็เริ่มข้อแรกกันดีกว่า
1. จำนวนใดในสองจำนวนนี้มีค่ามากกว่า (000... แทน 0 ยี่สิบห้าตัว) \[\frac{1000\ldots2+1}{(1000\ldots2)^2+1000\ldots2+1}\qquad หรือ \qquad\frac{1000\ldots4+1}{(1000\ldots4)^2+1000\ldots4+1} \] |
2. $x, y, z$ are positive real numbers such that $x^2+y^2+z^2=3$
Prove that $x+y+z \geq (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2$ |
ข้อแรกนะครับ
ให้ \(a=10^{25}\) ดังนั้นเราต้องเปรียบเทียบระหว่าง \(\frac{a+3}{a^2+5a+7}\) กับ \(\frac{a+5}{a^2+9a+21}\) ลองคูณไขว้ดู จะพบว่า \((a+3)(a^2+9a+21) > (a+5)(a^2+5a+7)\) ดังนั้น \(\frac{a+3}{a^2+5a+7} > \frac{a+5}{a^2+9a+21}\) ครับ |
อ้างอิง:
ซึ่งจาก am-gm จะได้ $$\sum_{cyclic} x^4+x+x \geq 3 \sum_{cyclic}x^2 = 9$$ |
ยังไม่มีเวลาตั้งโจทย์ใหม่เลยครับ
3.กระทู้เก่าของผมนะครับ ลองทำข้อนี้กันดูก่อนแล้วกันนะครับ เห็นว่ายังไม่มีใครมาตอบ(ข้อนี้แต่งเองครับ) |
4. Let $a,b,c$ be positive reals such that $a+b+c=1$.
Prove that $$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc+\frac{3}{4}(a-b)^2$$ |
5. Let $a,b,c$ be positive reals such that $abc=1$.
Prove that $$ \frac{a^2+2bc}{a^3+b^2+c^2}+\frac{b^2+2ca}{a^2+b^3+c^2}+\frac{c^2+2ab}{a^2+b^2+c^3} \leq 3$$ |
change ฃ1 to ฃ3
|
6. (nooonuii) ให้ $a,b,c >0$ โดยที่ $a+b+c = ab+bc+ca$ จงพิสูจน์ว่า
$$(1+a)(1+b)(1+c) + (a+b)(b+c)(c+a) \geq 16 $$ สมการเป็นจริงเมื่อใด |
อ้างอิง:
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $ = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ และ $c = 1-a-b$ อสมการจึงสมมูลกับ $(3a + 3b - 2)^2\geq 0$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $c = \frac{1}{3}$ |
(a3+b3+c3-3abc)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=a2+b2+c2-ab-bc-ca
จาก (a+b-2c)2 =(a2+b2+4c2+2ab-4ac-4bc) = 4(a2+b2+c2-ab-bc-ca) -3(a-b)2 ณ 0 ข้อแรก ของคุณ devil jr. |
ข้อของคุณ noonuii ผมคิดว่าน่าจะทำแบบนี้
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = (a+b+c)2-abc (1+a)(1+b)(1+c) = 1 + 2(a+b+c) + abc เอาสมการทั้งสองมาบวกกันได้ (a+b)(b+c)(c+a) + (1+a)(1+b)(1+c) = (a+b+c+1)2 ตอนสุดท้ายจะต้องพิสูจน์ว่า a+b+c ณ 3 อ่ะคับ |
อ้างอิง:
\[\sum \frac{a^2+2bc}{a^3+b^2+c^2} \leq \sum \frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^2+c^2}=(a^2+b^2+c^2)\sum\frac{1}{a^3+b^2+c^2}\leq (a^2+b^2+c^2)\sum\frac{a+c^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{ \sum a +2\sum a^2}{a^2+b^2+c^2}\] และโดย Power Mean และ Am-Gm เราได้ว่า \[a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)}{3} = a+b+c\] ดังนั้น \(\displaystyle{\frac{ \sum a +2\sum a^2}{a^2+b^2+c^2}} \leq \displaystyle{\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}}=3\) |
อ้างอิง:
\[a+b+c=ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\] ครับ |
7. $a,b,c$ are positive reals. Prove that
$$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq \frac{9}{4}(ab+bc+ca)^2$$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:46 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha