ช่วยหน่อยครับ
จงหาพหุนาม $F(x)$ ทั้งหมดซึ่ง $F(0)=2$ และ $F(x^2+1)=(F(x))^2+1$ สำหรับทุก $x$
:please: |
นี่โจทย์ของอะไรอะครับ คุ้น ๆ นะครับ :haha:
คือความหมายโจทย์ข้อนี้ถ้าหาได้สักฟังก์ชันหนึ่งก็สามารถพิสูจนฺ์ได้แล้วว่าไม่มีอันอื่นอีกครับ |
อ้างอิง:
ที่ x = 0 ได้ $F(0^2+1)$ = $(F(0))^2+1$ = $(2)^2+1$ ---> $F(1)$ = $5$ ที่ x = 1 ได้ $F(1^2+1)$ = $(F(1))^2+1$ = $(5)^2+1$ ---> $F(2)$ = $26$ ที่ x = 2 ได้ $F(2^2+1)$ = $(F(2))^2+1$ = $(26)^2+1$ ---> $F(5)$ = $676$ จากกรณีที่ x = 1 เราพบว่า $26$ = $(5)^2+1$, ดังนั้นเราจะได้ว่า $F(5)$ = $((5)^2+1)^2+1$ ลองแทนค่า x = 5 ได้ $F(5^2+1)$ = $(F(5))^2+1$ = $(676)^2+1$ ---> $F(26)$ = $(676)^2+1$ แต่ $676$ = $(26)^2+1$ ดังนั้นเราจะได้ว่า $F(26)$ = $((26)^2+1)^2+1$ เราจึงได้รูป $F(x)$ = $(x^2+1)^2+1$ และลองแทนค่าx = 0 ลงในสมการ จะได้ $F(0)=2$ (จริง), สรุปได้ว่าพหุนาม $F(x)$ = $(x^2+1)^2+1$ ที่ได้จะเป็นจริงทุกกรณีตามเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาครับ... :D:D |
สวัสดีเจ้าค่ะ...
ก่อนอื่นขอบคุณความเห็นของคุณ Puriwatt ก่อนนะเจ้าคะ ทางนี้จะลองพิสูจน์ว่า $F(x) = (x^2+1)^2+1$ เป็นคำตอบเดียวที่เป็นไปได้เจ้าค่ะ เราให้ $G(x) = F(x) - ((x^2+1)^2+1)$ ดังนั้น $F(x) = G(x) + ((x^2+1)^2+1)$ เราจึงได้ว่า $F(x^2+1) = G(x^2+1) + (((x^2+1)^2+1)^2+1)$ อีกด้านเราได้ว่า $(F(x))^2+1 = (G(x))^2+2G(x)[(x^2+1)^2+1] + ((x^2+1)^2+1)^2+1$ เนื่องจาก $F(x^2+1) = (F(x))^2+1$ จัดรูปแล้วจะได้ว่า $G(x^2+1) = G(x)[G(x)+2(x^2+1)^2+2]...(*)$ คราวนี้เราทราบแล้วว่า $G(0) = F(0) - 2 = 0$ เจ้าค่ะ แทนค่า $x=0$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า $G(1) = 0$ แทนค่า $x=1$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า $G(2) = 0$ แทนค่า $x=2$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า $G(5) = 0$ ... เราสามารถพิสูจน์โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า $G(a_n) = 0$ เสมอทุกๆ $n \in \mathbb{Z}^{+}$ เมื่อ $a_1 = 0, a_n = a_{n-1}^2+1$ เจ้าค่ะ ดังนั้น $G(x)$ จะเป็นพหุนามที่มีจำนวนรากเกินดีกรี นั่นคือ $G(x)=0$ สรุปก็คือ $F(x) = (x^2+1)^2+1$ นั่นเองเจ้าค่ะ |
อ้างอิง:
|
สวัสดีเจ้าค่ะ...
จริงๆ ยังไม่แน่ใจว่าคำตอบนี้ถูกรึเปล่านะเจ้าคะ แต่ยังจะอธิบายอีกที เผื่อว่าจะจบได้ซะทีเนอะ... ก่อนอื่น กำหนด $G(x) = F(x) - ((x^2+1)^2+1)$ เราจะพิสูจน์ได้ว่า $$G(x^2+1)=G(x)[G(x)+2(x^2+1)^2 + 2]...(*)$$ ตรงนี้เรานิยามลำดับ $a_1=0, a_n = a_{n-1}^2+1$ ขึ้นมาเจ้าค่ะ ก่อนอื่นสังเกตว่า $G(a_1) = G(0) = 0$ ต่อไปสมมติว่า $G(a_n) = 0$ เราจะพิสูจน์ว่า $G(a_n^2+1) = G(a_{n+1}) = 0$ นะเจ้าคะ เราแทนค่า $x = a_n$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า $$G(a_n^2+1) = G(a_n)[G(a_n) +2(a_n^2+1)^2+2] = 0$$ เจ้าค่ะ เพราะฉะนั้น $G(a_{n+1}) = 0$ ไปด้วย เป็นอันจบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เจ้าค่ะ |
ขอบคุณมากครับคุณ Ai -Ko :wub: คิดไม่ถึงเลยนะครับเนี่ยว่ามีวิธีแบบนี้ด้วยขอบคุณมากๆๆครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:51 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha