Mathcenter Contest Round 2/2010 Longlist
 

ขออนุญาตตัดมาแต่คำถามที่ส่งมาแต่ไม่ได้ใช้แข่งนะครับ ที่เหลือรบกวนไปดูโจทย์ในกระทู้โจทย์นะครับ

ขอบคุณครับ




ปล. ช่วงนี้ยุ่งจัดบวกติดบอลโลก อาจจะได้เริ่มตรวจคำตอบช้าหน่อย แต่ตรวจแน่นอนครับ

number 2.
Gives $21 = x$ Then We get
$\sqrt{x(x-9)(x+9)(x-18)+6561} = a$
$\sqrt{(x^2-9x)(x^2-9x-162)+6561} = a$
Gives$ x^2-9x= Y$
$Y-81 = a$
$x^2-9x-81 = a$
$21^2 - 9*21 - 81 = a$
$a = 171$
$14^2 - 5^2 = 171$
$xy = 70$

มาเก็บของประถมก่อน

$\frac{54}{19} = 2 + \frac{16}{19} = 2 + \dfrac{1}{\frac{19}{16}}$

$= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{3}{16}}$

$= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{1}{\frac{16}{3}}}$

$= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{1}{ 5 + \frac{1}{3}}} = w + \dfrac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}$

$x = 1, \ \ y = 5, \ \ z = 3, \ \ w = 2$ .....(*)


$\displaystyle{z + \frac{1}{y+\frac{1}{x+\frac{1}{w}}}}$

$= \displaystyle{3 + \frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}$

$=3\frac{3}{17}$

อันนี้ยังไม่ได้ตรวจสอบ

คิดคร่าวๆ เราก็พยายามใช้เลขคี่แยะๆ (จะได้ครบ 50 ตัว)

1+3+5+7+....+83 +85 +87 +74 = 2010 มี 45 ตัว

แตก 74 เป็นเลขคู่ 6 ตัว ให้ได้ 74 เช่น 44+2+4+6+8+10

เดี๋ยวมาดูต่อ...... ว่าจะสามารถลดจำนวนคู่ได้อีกไหม

$x=\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}} = \sqrt{y+x} $

$x^2 = y+x$ ......(*)


$y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}} = \sqrt{x +y} $

$y^2 = x+y$ ...(**)


(*)=(**) $ \ \ \ \ x^2 = y^2$

$x = y$

แทนค่า $y$ ใน (*)

$x^2 = x+x = 2 x$

$x\not= 0 \ \ \ \ x \ \ $หารตลอด

$x = 2 ---> y = 2$

$x+y = 2 +2 = 4$

หลวงปู่บอกให้ตอบ 40 ไปก่อน ดูท่าทางหลวงปู่ก็ไม่มั่นใจเหมือนกัน :haha:
Attachment 3223

ข้อนี้ยังทำไม่ได้

แต่ถ้าให้เติมคำตอบ ก็จะตอบว่า $n^9m-m^4+m^3n-n^{10} =0$

ด้วยเหตุผลว่า คำตอบไม่น่าต้องติดค่าตัวแปร

ถ้าจะเป็นตัวเลข ก็น่าจะเป้น 0, 1, 2 ซึ่งโดยทั่วไปน่าจะเป็นอย่างนั้น

แต่เมื่อมามองๆดู ถ้า $m= n^3$ ลองแทนค่าดูก็จะได้

$n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ = $(m^3)m-m^4+m^3n-(m^3)n = 0$





เดี๋ยวพิสูจน์ได้แล้วจะมาบอก :haha:



14:07 1/7/2553 มาทำต่อ


จาก $n^{m-n}=m^{27}$

$(n^{m-n})^9= (m^{27})^9 = m^{243}$

$(n^9)^{m-n} = m^{243}$

$n^9 = m^{\frac{243}{m-n}}$

$(n^9)^{27} = n^{243}= (m^{\frac{243}{m-n}})^{27} = (m^{\frac{27\times243}{m-n}}) = m^{m-n}$

จะได้ $(\frac{27\times243}{m-n}) = m-n $


$ \ \ (m-n)^2 = 243 \times 27 = 3^2 \times 27^2 = 81 ^2$

$m-n = 81$



แทนค่า $81$ ใน $m^{m-n}=n^{243}$ จะได้

$m^{81}=n^{243}$

$m = n^{\frac{243}{81}} = n^3$

แทนค่า $m = n^3$ ใน $n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ จะได้

$n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ = $(m^3)m-m^4+m^3n-(m^3)n = 0$




ในที่สุด ความพยายามของเราก็สำเร็จ :haha:

สุดยอดจริงๆครับ

มีวิธีไหนอีกมั้ยครับ

มาร่วมเฉลยกันนะครับ เริ่มจาก ประถม


ข้ออ้าง


จากโจทย์
สี่เหลี่ยมคางหมูมีพื้นที่ $\frac{1}{2}\times 10 \times (8+12) = 100 $ ตารางซม

เมื่อมาต่อกันจะได้สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นที่ 200 ตารางเซนติเมตร
โดยมีพื้นที่แบ่งเป็น 5 ส่วนเท่าๆกันดังรูป



พื้นที่แรเงา เป็น $\frac{3}{5} $ของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่แรเงา เป็น $\frac{3}{5} $ของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

ดังนั้นพื้นที่แรเงาเท่ากับ $\frac{3}{5} \times 100 = 60 $ ตารางเซนติเมตร

ตามรูป


$x = 27, \ \ y = 45$

ความยาวรอบรูป = $2(5x +x + y) = 12x + 2y = 12(27) + 2(45) = 324 +90 =414$ หน่วย

แบบที่ 1 ละเลียดเก็บทีละเม็ด

1111111111 นับได้ 1 วิธี

แบบที่2 เก็บหนึ่งเม็ดบ้างสองเม็ดบ้าง
211111111 นับได้ 9 วิธี
22111111 นับได้ 28 วิธี
2221111 นับได้ 35วิธี
222211 นับได้ 15 วิธี

รวม 87 วิธี

แบบที่ 3 เก็บทีละ 2 เม็ด
22222 นับได้ 1 วิธี

รวมๆก็ได้ 1 + 87 + 1 = 89 วิธี


หรืออีกวิธีแบบประถมๆ ใช้การสังเกต

ถ้าลูกแก้วมีแค่ลูกเดียว จะมีวิธีเก็บ 1 วิธี (1)

ถ้ามีลูกแก้ว 2 ลูก จะมีวิธีเก็บ 2 วิธี (1,1)(2)

ถ้ามีลูกแก้ว 3 ลูก จะมีวิธีเก็บ 3 วิธี (1,1,1)(1,2)(2,1) < --- 1+2 = 3

ถ้ามีลูกแก้ว 4 ลูก จะมีวิธีเก็บ 5 วิธี (1,1,1,1)(2,2)(2,1,1)(1,2,1)(1,1,2) < --- 2+3 = 5

ถ้ามีลูกแก้ว 5 ลูก จะมีวิธีเก็บ 8 วิธี (1,1,1,1,1)(1,1,1,2)(1,1,2,1)(1,2,1,1)(2,1,1,1)(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2) < --- 3+5 = 8

ถ้ามีลูกแก้ว 6 ลูก จะมีวิธีเก็บ 13 วิธี .... < --- 5+8 = 13

ถ้ามีลูกแก้ว 7 ลูก จะมีวิธีเก็บ 21 วิธี ... < --- 8+13 = 21

ถ้ามีลูกแก้ว 8 ลูก จะมีวิธีเก็บ 34 วิธี ... < --- 13+21 = 34

ถ้ามีลูกแก้ว 9 ลูก จะมีวิธีเก็บ 55 วิธี ... < --- 21+34 = 55

ถ้ามีลูกแก้ว 10 ลูก จะมีวิธีเก็บ 89 วิธี ... < --- 34+55 = 89

จากากรสังเกต รูปแบบลำดับเป็น $n^3-n^2+n-1$

พจน์ที่ 1 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 1^3-1^2+1-1 = 0 $

พจน์ที่ 2 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 2^3-2^2+2-1 = 5 $

พจน์ที่ 3 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 3^3-3^2+3-1 = 20 $

พจน์ที่ 4 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 4^3-4^2+4-1 = 51$

พจน์ที่ 5 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 5^3-5^2+5-1 = 104 = x$
.
.
.
พจน์ที่ 9 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 9^3-9^2+9-1 = 656 = y$
.
.
พจน์ที่ 12 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 12^3-12^2+12-1 = 1595 = z$



$x^2-2y+z = 104^2 - 2(656) + 1595 = 10816 -1312 + 1595 = 11099$



ตอบ ค่าของ $x^2-2y+z = 11099$

$\frac{1}{1\times5} + \frac{1}{5\times9} + \frac{1}{9\times13} + ... + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = 0.244444...$

$ \frac{1}{4}(\frac{4}{1\times5} + \frac{4}{5\times9} + \frac{4}{9\times13} + ... + \frac{4}{(4n-3)(4n+1)}) = \frac{24-2}{90} = \frac{11}{45}$

$\frac{1}{4} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{13}) + ... + (\frac{1}{(4n-3)} - \frac{1}{4n+1})] = \frac{11}{45}$

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1} - \frac{1}{4n+1}) = \frac{11}{45}$

$ \frac{1}{1} - \frac{1}{4n+1} = \frac{44}{45}$

$1 - \frac{44}{45} = \frac{1}{4n+1}$

$\frac{1}{45} = \frac{1}{4n+1}$

$45 = 4n+1$

$n = 11 \ \ \ Ans.$

ข้อนี้ ใครจับลิงได้บ้างครับ


(ทีหลังก็ติด GPS ไว้ที่คอลิงด้วยซิครับ จะได้ไม่ต้องเสียเวลาหา) :haha:

มาช่วยแปะคำตอบข้อของผมล่ะกัน
ข้อ6. ประถม 1340 วัน
ข้อ6. ม.ต้น 2010
ข้อ7. ม.ต้น 2554
ข้อ8. ม.ต้น 3333
ข้อ9. ม.ต้น 174
ข้อ10. ม.ต้น 543 ตารางหน่วย
ข้อ11. ม.ต้น 1009 หน่วย
ข้อ12. ม.ต้น 999888
ข้อ13. ม.ต้น 2896
ข้อ1. วิธีทำม.ต้น $\sqrt{\frac{2(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}$
ข้อ2. วิธีทำม.ต้น 731
ข้อ3. วิธีทำม.ต้น $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
ข้อ4. วิธีทำม.ต้น 40 องศา
ข้อ5. วิธีทำม.ต้น 15 องศา

ถามจริงๆจากใจ
ข้อ12. ม.ต้นใครแอบใช้แคลมั่งเอ่ย
ข้อ11.ม.ต้นกับพวกเรขา ใช้ตรีโกณกันแหลกลานชัวร์ป๊าป 100%