TMC3รอบ2 ม.5
 

มีใครจำข้อสอบมาบ้างครับ ขอข้อสอบหน่อยครับ ขอบคุณครับ

ปล.ข้อโบนัสเหมือน ม.4 เลย

คุณ polsk133 ได้สอบมั้ยครับ

จำโบนัสได้อ่ะครับ 555 ให้ $f:N\rightarrow N$ เเละ $f(n+1)>f(n)$ เเละ $f(f(n))=3n$ จงหา $f(10)$

#2 สอบครับ

#3 ขอบคุณมากครับ

$f(17)$ ไม่ใช่เหรอครับ (f(17)=26)

f(17)ม.4ครับ ม.5 f(10)
ตรงกันหลายข้อมาก - -

ถ้าของ ม.4 จะเป็น f(17) อะครับ

ผมแอบได้ยินโบนัส ม.2 มา

$a_n$ คือการเอาเลข 1 ถึง n มาเขียนต่อกัน

$b_n$ คือการเอา $a_1$ ถึง $a_n$ มาเขียนต่อกัน

จงหาจำนวนหลักของ b_128

$f:N\rightarrow N$ เเละ $f(n+1)>f(n)$ เเละ $f(f(n))=3n$ จงหา $f(10)$

$$[(n+1>n)\bigwedge (f(n+1)>f(n))]\rightarrow f: เป็นฟังก์ชันเพิ่ม$$
เนื่องจาก $f:N\rightarrow N$

สมมติ $f(1)=1$ แทนลงไปใน $f(f(n))=3n$ จะได้ $f(1)=3$ ซึ่งขัดแย้งกับคุณสมบัติฟังก์ชัน

ดังนั้น $f(1)>1$

$f(2)>f(1)>1$ ดังนั้น $f(2)>2$

จะได้ว่า $f(n)>n$
$$f(n+1)>f(n)$$
$$\leftrightarrow $$
$$f(n+1)\geqslant f(n)+1$$

$$เนื่องจาก : f(n+1)\geqslant f(n)+1$$

$$ดังนั้น : f(f(n+1))\geqslant f(f(n)+1)$$

$$จะได้ : 3(n+1)\geqslant f(f(n)+1)$$

$$3n+3\geqslant f(f(n)+1)$$

$$แทน : n=1$$

$$6\geqslant f(f(1)+1)$$

$$แต่ :f(f(1)+1)>f(f(1))+1>f(f(1))>f(1)$$

$$ดังนั้น$$ $$3\geqslant f(1)$$

เนื่องจาก $f(1)\not= 1$ แทน $f(1)=3$ จะได้ $f(f(1))=f(3)=3$ แต่ $f(n)>n$ ดังนั้น เป็นไปไม่ได้

จึงเหลือเพียง $f(1)=2$

$$f(1)=2;n=1;f(f(1))=f(2)=3$$
$$f(2)=3;n=2;f(f(2))=f(3)=6$$
$$f(3)=6;n=3;f(f(3))=f(6)=9$$

แสดงว่า $8\geqslant f(5)> f(4)\geqslant 7$

จึงได้ว่า $f(4)=7 , f(5)=8$

$$f(4)=7;n=4;f(f(4))=f(7)=12$$
$$f(5)=8;n=5;f(f(5))=f(8)=15$$
$$f(6)=9;n=6;f(f(6))=f(9)=18$$
$$f(7)=12;n=7;f(f(7))=f(12)=21$$

แสดงว่า $20\geqslant f(11)>f(10)\geqslant 19$

จึงได้ว่า $f(10)=19 , f(11)=20$

$$f(8)=15;n=8;f(f(8))=f(15)=24$$
$$f(9)=18;n=9;f(f(9))=f(18)=27$$

แสดงว่า $26\geqslant f(17)>f(16)\geqslant 25$

จึงได้ว่า $f(17)=26 , f(16)=25$

ตอบ $f(10)=19 ,f(17)=26 $

วิธีผมช่างยาวเหลือหลาย ใครมีวิธีสั้นๆแสดงให้ดูหน่อยครับ

อลังการมากครับ

วิธีคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o ก็ไม่ได้ยาวนะ ลองย่อให้
ก่อนอื่นเห็นได้ชัดว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และสังเกตว่า $f(x)>x$ เสมอ (สามารถ proof by induction)
จาก $f(f(1))=3$ จะได้ $1<f(1)<3, f(1)=2$

นั่นคือ $f(2)=f(f(1))=3$ ในทำนองเดียวกัน $f(3)=6,f(6)=9,f(9)=18,f(18)=27$
$6=f(3)<f(4)<f(5)<f(6)=9$,

$f(4)=7,f(7)=12,f(12)=21$
$18=f(9)<f(10)<f(11)<f(12)=21$, $f(10)=19$

$f(5)=8,f(8)=15,f(15)=24$
$24=f(15)<f(16)<f(17)<f(18)=27$, $f(17)=26$