Fighting For TMO 13
16-20 พ.ค. ก็แข่งแล้ว อยากให้ช่วยโพสต์โจทย์ที่อาจจะเป็นแนว TMO 13 หน่อยครับ
|
อาจจะไม่ค่อยเกี่ยวกับ TMO นะครับๆ
Solve the system of equations for $a>0$ $\displaystyle \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=a $ and $ \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=a^2 $ |
อ้างอิง:
จากสมการที่ 1 ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง จะได้ $(x+y)+(x-y)-2\sqrt{x^2-y^2}=a^2 $ $2x-2\sqrt{x^2-y^2}=a^2$ $(2x-a^2)^2=(2\sqrt{x^2-y^2})^2$ จะได้ $y^2=\frac{4a^2x-a^4}{4}$ นำสมการที่ได้แทนในสมการที่2 $\sqrt{x^2+\frac{4a^2x-a^4}{4}}+\sqrt{x^2-\frac{4a^2x-a^4}{4}}=a^2$ $\sqrt{\frac{4x^2+4a^2x-a^4}{4}}+|\frac{(2x-a^2)}{2}|=a^2$ $(\sqrt{\frac{4x^2+4a^2x-a^4}{4}})^2=(a^2-|\frac{(2x-a^2)}{2}|)^2$ ทำต่อไปอีกนิดๆ $-3a^2+4a^2x=-2a^2|a^2-2x|$ @Case1 : $|a^2-2x|=a^2-2x$ จะได้ $a=0$ ขัดแย้งกับโจทย์ $a>0$ @Case2 : $|a^2-2x|=-(a^2-2x)$ จะได้ $x=\frac{2a^2+3}{8}$ แทนค่ากลับไปในสมการบรรทัดที่ 5 ก็ได้ y ครับ **ไม่ค่อยมั่นใจครับ วิธียาวมาก มีแบบสั้นๆไหมครับ ** |
มาเสริมให้ซักข้อแล้วกันนะครับ
ให้ $a_1,a_2,...,a_m$ เป็นจำนวนนับ จงแสดงว่าจะมีจำนวนนับ $n$ เป็นจำนวนอนันต์ที่ทำให้ $$1^1a_1^n+2^2a_2^n+...+m^ma_m^n$$ เป็นจำนวนประกอบ |
ถ้า $m=2$ เเล้วก็ $a_1,a_2=1$ แล้วมันไม่จริงเปล่าครับ
|
สมมติว่ามีจำนวนนับ $ n $ ป็นจำนวนจำกัดตัว
และสมมติให้ $ k $ เป็นจำนวนที่มากที่สุดที่ทำให้เป็นจำนวนประกอบ แล้วพิสูจน์ว่ามันมีจำนวนที่มากกว่า $ k $ ที่ทำให่ป็นจำนวนประกอบเหมือนกัน หรือเปล่าครับ ขอ Hint ทีครับ |
ผมทำคล้ายๆ กับไอเดียที่คุณ Nonpawit12345 เสนอมาครับ
เพื่อความสะดวก ให้ $f(n)=1^1{a_1}^n+2^2{a_2}^n+3^3{a_3}^n+...+m^m{a_m}^n$ สมมติว่ามี $N\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ถ้า $n>N$ แล้ว $f(n)$ เป็นจำนวนเฉพาะ ให้ $f(k)=p$ โดย Fermat Little Theorem จะได้ $f(k+p)\equiv f(k)\equiv 0\pmod p$ และ $f(k+p)>f(k)=p$ เพราะฉะนั้น $f(k+p)$ เป็นจำนวนประกอบ เกิดข้อขัดแย้งครับ อยากให้ช่วยกันลงโจทย์หน่อยครับ ต้องเตรียมสอบ |
จงหาค่าของ
$\quad \displaystyle \sum_{1 \le x,y,z \le 10} \min (x,y,z)$ เมื่อ $\min (x,y,z)$ แทนค่าของจำนวนที่น้อยที่สุดใน $x,y,z$ |
จงหาคำตอบสมการ
X(x+4)+3^y=383----1 y(y+6)+5^z=180-----2 z(z+10)+2^x=1063----3 ตอบ=???? |
อ้างอิง:
|
ใช้ครับเป็นi+
|
อ้างอิง:
พิจารณาสมการที่ 2 ค่าที่เป็นไปได้ของ z คือ 1,2,3 แต่ถ้า z=1 หรือ z=2 แล้ว จะได้ว่า y ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น z=3 ทำให้ y=5 แทน z=3 ในสมการที่ 3 จะได้ x=10 ดังนั้น x=10,y=5,z=3 ตรวจคำตอบโดยการแทนค่ากลับในสมการ จะพบว่าทั้งสามสมการเป็นจริง |
ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!} $ จงหาเศษจากการหาร $a$ ด้วย $13$ |
อ้างอิง:
$\equiv 12! \cdot 14\cdot 15\cdot ...\cdot 23 (mod 13)$ จาก Wilson's theorem จะได้ $a \equiv (-1) \cdot 14\cdot 15\cdot ...\cdot 23 (mod 13)$ $\equiv (-1) \cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot 10 (mod 13)$ $\equiv (-1)(6!)(-6)(-5)(-4)(-3) (mod 13)$ $\equiv (-1)(720)(360) (mod 13)$ $\equiv (-1)(5)(9) \equiv -45 \equiv 7 (mod 13)$ $\therefore $ เศษจากการหาร $a$ ด้วย $13$ คือ $7$ |
จงหา $ f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมด
ที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน $ g(f(x+y))=f(x)+(2x+y)g(y) $ สำหรับทุก $x,y$ เป็นสมาชิกของจำนวนจริง อีก ประมาณ 2 สัปดาห์ครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:47 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha