Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)
-   ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=21)
-   -   มาร่วมกันเฉลย PAT 1 มี.ค. 2555 กันครับ ^^ (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=16783)

Relaxation 16 กรกฎาคม 2012 09:31

มาร่วมกันเฉลย PAT 1 มี.ค. 2555 กันครับ ^^
 




























ครบแล้วครับ CREDIT : จาก นาย อั๋น พูดว่า ในกลุ่ม คณิตมัธยมปลาย https://www.facebook.com/groups/399935686699873/ ครับ ^^

กิตติ 16 กรกฎาคม 2012 12:04

ข้อ11.$\log(\sqrt{x+1}+5 )=\log x$
เนื่องจาก $\log$ เป็นฟังก์ชั่น 1-1 ดังนั้นจับเ่ท่ากันได้
$\sqrt{x+1}+5= x$ และ $x>0$
$\sqrt{x+1}=x-5$
$x+1=x^2-10x+25$
$x^2-11x+24=0$
ผลคูณของสมาชิกของเซต $A$ คือ $24$

$\log_2(3x)+\log_4(9x)+\log_8(27x)=3+2\log_64(x)$
$\log_2\left(\,(3x)(\sqrt{9x})(\sqrt[3]{27x} )\right)=\log_2(8\sqrt[3]{x} ) $
เนื่องจาก $\log$ เป็นฟังก์ชั่น 1-1 ดังนั้นจับเ่ท่ากันได้
$\sqrt[3]{x} (27\sqrt{x^3}-8)=0$ แต่ $x\not= 0$
$27\sqrt{x^3}-8=0$
$x=\frac{4}{9} $

ผลคูณของสมาชิกทั้งสองคือ $\frac{96}{9} $

แก้คำตอบ
ข้อนี้โดนดักหลุมเบ้อเร้อเลย ขอบคุณคุณPasser-byที่เช็คคำตอบของ $x^2-11x+24=0$ ว่าใช้ได้ค่าเดียว ผมชอบลืมการตรวจคำตอบที่ได้จากการยกกำลังของสมการ
โดนดักไปข้อหนึ่ง ข้อนี้เหลือคำตอบคือ $\frac{32}{9}$

banker 16 กรกฎาคม 2012 12:58

2 ไฟล์และเอกสาร
มาหาโจทย์ที่ม.ต้นพอทำได้

Attachment 9405

Attachment 9406

โดยปิธากอรัส c = 19

ความยาวรอบรูป = 19+19+2+5 = 45 หน่วย



ลืมไปว่า ถ้าเป็น ม.ปลาย ใช้กฏcosine ได้นี่นา

$c^2 = 5^2 + (c+2)^2 - 2\cdot 5 (c+2)cos60^\circ $

$c = 19$

poper 16 กรกฎาคม 2012 13:20

1 ไฟล์และเอกสาร
มาเลือกข้อง่ายๆทำก่อน อิอิ
Attachment 9407


$$\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{(5x^2-23x+3)}>\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{-(x+5)}$$
เนื่องจากฐานน้อยกว่า $1$ ดังนั้น
$5x^2-23x+3<-(x+5)$
$5x^2-22x+8<0$
$(5x-2)(x-4)<0$
$\therefore \frac{2}{5}<x<4$


1. $\frac{1}{5}<x<3$
2. $\frac{1}{4}<x<4$
3. $\frac{1}{2}<x<5$
4. $-1<x<3$

ตอบข้อ 2.

poper 16 กรกฎาคม 2012 13:50

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9408

ก. $b^2=ac$ take log ฐาน $x$ ทั้งสองข้างจะได้
$$2log_xb=log_xa+log_xc$$ $$2\frac{1}{log_bx}=\frac{1}{log_ax}+\frac{1}{log_cx}$$ $$2(log_ax)(log_cx)=(\log_bx)(log_cx)+(log_bx)(log_ax)$$ $$(log_ax\cdot log_cx)-(\log_ax\cdot log_bx)=(log_bx\cdot log_cx)-(log_ax\cdot log_cx)$$ $$log_ax(log_cx-log_bx)=log_cx(log_bx-log_ax) $$ $$log_ax(log_bx-log_cx)=log_cx(log_ax-log_bx)$$ จริง

ข. $a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)$ take log ทั้งสองข้าง จะได้
$$2loga=log(c+b)+log(c-b)$$ $$2=log_a(c+b)+log_a(c-b)$$ $$2=\frac{1}{log_{(c+b)}a}+\frac{1}{log_{(c-b)}a}$$ $$2(log_{(c+b)}a)(log_{(c-b)}a)=log_{(c+b)}a+log_{(c-b)}a$$ จริง

ตอบข้อ 1.

poper 16 กรกฎาคม 2012 14:15

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9409

เส้นตรง $AB : y-1=\frac{4}{3}(x+1)$ ดังนั้น เส้นตรง $CD : y+3=-\frac{3}{4}(x-2)$
แก้สมการหาจุดตัด ได้ $D\bigg(-\frac{46}{25},-\frac{3}{25}\bigg)$

จะได้ $$\overrightarrow{AD} =\bigg(-\frac{46}{25}+1\bigg)i+\bigg(-\frac{3}{25}-1\bigg)j$$ $$=-\frac{21}{25}i-\frac{28}{25}j=-\frac{7}{25}(3i+4j)$$

ตอบข้อ 3.

banker 16 กรกฎาคม 2012 14:28

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9410


$a*(b*c) = a*(b^c) = a^{b^c}$
$(a*c)*b = (a^c)*b = (a^c)^b = a^{bc}$
ข้อ 1 ผิด


$(a*b)*c = (a^b)*c = (a^b)^c = a^{bc}$
$a*(bc) = a^{bc}$

ข้อ 2 ถูก

banker 16 กรกฎาคม 2012 14:35

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9411



$ = (310 \times (10a+b)) - (465 \times (10b+a)) = 2790 $

$a= 2b$ จะได้

$ = (310 \times (20b+b)) - (465 \times (10b+2b)) = 2790 $

$b = 3, \ \ \to \ a = 6$

$a+b = 9$

banker 16 กรกฎาคม 2012 14:41

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9412

1417-1059 = 358
2312 - 1059 = 1253
2312 -1417 = 895

หรม. ของ 358, 1253, 895 เท่ากับ 179 ---> = d

179 หาร 1059 เหลือเศษ 164 ---> = r

d+r = 179+164 = 343

banker 16 กรกฎาคม 2012 14:59

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9413

$b = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...} } } } $

$b^2 = 2b \ \ \to \ b = 2$


$c = \sqrt{2} + \sqrt{3} = 1.414 +1.732 = 3.146$



$a = \sqrt{7+4\sqrt{3} } = \sqrt{(2+\sqrt{3} )^2} = 2 + \sqrt{3} = 2 + 1.732 = 3.732 \ $

ดังนั้น a > c > b

ดังนั้น $\frac{1}{b} > \frac{1}{c} > \frac{1}{a}$

banker 16 กรกฎาคม 2012 15:57

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9414

ข้อนี้ไม่รู้คิดยังไงเหมือนกัน

ลองจัดเรียงตัวเลขใหม่ได้ดังนี้

3, 3, 3, 5, 6, 11

จะเห็นว่า ไม่ว่า x จะเป็นเท่าไร ฐานนิยมต้องเป็น 3 เสมอ

ถ้า $x \leqslant 3 \ $ มัธยฐานจะเท่ากับ 3

ถ้า $ x = 4 \ $ มัธยฐานจะเท่ากับ 4 และค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 5 ได้มา 1 ชุด

ถ้า $ x \geqslant 5 \ $มัธยฐานจะเท่ากับ 5 ซึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต้อง เท่ากับ 7 จึงจะได้ลำดับเลขคณิต 3, 5, 7

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต้อง เท่ากับ 7, $ \ \ $ x เท่ากับ 18

สรุป
x = 4 --> ฐานนิยมเป็น 3, มัธยฐานเท่ากับ 4, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 5
x = 18 --> ฐานนิยมเป็น 3, มัธยฐานเท่ากับ 5, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 7

ผลบวกของสมาชิกของ s = 4 +18 = 22

poper 16 กรกฎาคม 2012 16:52

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9415

จาก $A^2=I$

\(\pmatrix{1&x\\y&-1}\pmatrix{1&x\\y&-1}\)=\(\pmatrix{1+xy&0\\0&xy+1}\)=\(\pmatrix{1&0\\0&1}\)
ดังนั้น $xy=0$

จาก $AB=2C$ จะได้ว่า $B^{-1}=\frac{1}{2}C^{-1}A$

$detB^{-1}=det\bigg[\frac{1}{2}C^{-1}A\bigg]=\frac{1}{4}det(C^{-1})\cdot det(A)=\frac{1}{4}(-1)(-1)=\frac{1}{4}=0.25$

ตอบข้อ 1.

poper 16 กรกฎาคม 2012 17:43

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9416

จาก $f''(x)=2x+1$
$\int f''(x)dx=f'(x)=x^2+x+c$ จาก $f'(2)=2$ จะได้ $c=-4$
ดังนั้น $f'(x)=x^2+x-4$
ความชันที่จุด $x=1$ คือ $f'(1)=-2$

$\therefore $ สมการเส้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสคือ
$y-3=\frac{1}{2}(x-1)$
$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

ตอบข้อ 2.

poper 16 กรกฎาคม 2012 17:56

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9417

จาก $$f(x)=\frac{ax+1}{x^2+1}$$ $$f'(x)=\frac{-ax^2-2x+a}{(x^2+1)^2}$$
ดังนั้น $$g(x)=\frac{-ax^2-2x+a}{x^2+1}$$

จาก $h(x)$ ต่อเนื่องที่ $x=2$ ดังนั้น
$f(2)=g(2)$
แก้สมการจะได้ $a=-1$
ดังนั้น

\(h(x)=\cases{\frac{-x+1}{x^2+1}& ,x\geqslant 2\\ \frac{x^2-2x-1}{x^2+1}& ,x<2}\)

$2h(-2)-h(2)=3$

ตอบข้อ 4.

poper 16 กรกฎาคม 2012 18:05

1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 9418

$$g(x)=[f(x)-1]^2+4$$
$$g'(x)=2[f(x)-1]f'(x)$$
$$g'(1)=2[f(1)-1]f'(1)$$
$$1=2[f(1)-1](1)$$
$$f(1)=1.5$$

ตอบข้อ 2.


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:55

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha