ปัญหาทฤษฎีจำนวน
จงหาจำนวนเต็มบวก m ทั้งหมด
ซึ่งมีคุณสมบัติว่า จำนวนของตัวหารบวกทั้งหมดของ m ยกกำลังสอง มีค่าเท่ากับ m (เช่น 9 มีตัวหารบวกทั้งหมด 3 ตัว คือ 1,3 และ 9 ซึ่ง 3 ยกกำลังสอง มีค่าเท่ากับ 9 แต่ 16 มีตัวหารบวกทั้งหมด 5 ตัว คือ 1,2,4,8 และ 16 ซึ่ง 5 ยกกำลังสอง ไม่เท่ากับ 16) |
จากสมบัติที่ให้มาจะได้ว่า m เป็นจำนวนกำลังสอง ให้
$$m=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$ จำนวนตัวประกอบยกกำลังสอง $$((2k_1+1)(2k_2+1)+...(2k_n+1))^2=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$ นั่นคือ $$(2k_1+1)(2k_2+1)+...(2k_n+1)=p_1^{k_1}p_2^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$$ เนื่องจากทางซ้ายเป็นจำนวนคี่ดังนั้น รู้แค่ว่า m เป็นจำนวนคี่แหละ หุหุ ;) |
จากสมบัติที่ให้มาจะได้ว่า m เป็นจำนวนกำลังสอง ให้
$$m=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$ จำนวนตัวประกอบยกกำลังสอง $$((2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_n+1))^2=p_1^{2k_1}p_2^{2k_1}\cdots p_n^{2k_n}$$ นั่นคือ $$(2k_1+1)(2k_2+1)...(2k_n+1)=p_1^{k_1}p_2^{k_1}\cdots p_n^{k_n} = A$$ จะได้ว่า A เป็นจำนวนคี่ ให้ m = k1+k2+...+kn จะได้ว่า A ณ 3m เมื่อพิจารณาค่าของ (2k1+1)(2k2+1)...(2kn+1) = B จะได้ว่า B มีค่ามากที่สุดเมื่อ k1 = k2 = ... = kn = 1 ดังนั้น B ฃ 3 m ฃ A แต่เงื่อนไขของโจทย์คือ A = B ดังนั้น 3k = 2k+1 ซึ่งมีคำตอบเดียวที่เป็นจำนวนนับคือ 1 ดังนั้น A = B = 3 และ A2 = 9 จึงมีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้นคือ 32 = 9 |
อ้างอิง:
หรือสรุปได้เพียงว่า ดังนั้น 3 m ฃ A,B :confused: |
แล้ว 1 ใช้ไม่ได้เหรอครับ??
ตัวหารบวกของ 1 ก็คือ 1 ซึ่ง 1 ยกกำลังสองก็มีค่าเท่ากับ 1 นิ?? |
จงหาจำนวนเต็มบวก m ,n ทั้งหมด ที่ทำให้
m(a+b+c) + n(1/a + 1/b + 1/c) = abc ทุกจำนวนจริงบวก a,b,c |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:05 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha