ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ 2550
 

1. จำนวนเต็ม n ในข้อใดต่อไปนี้ทำให้ $x^2 + x + 1 $หาร $x^{2n} + 1 +(x+1)^{2n}$ ไม่ลงตัว
1. 17 2. 20 3. 21 4. 64

2.กำหนดให้ $lim โดยที่ h เข้าใกล้ 0\frac{ln( 1 + h)}{h} = 1 $ และ f(x) =$ln\sqrt{x} $

สมการเส้นตรงในข้อใดต่อไปนี้แทนสมการของเส้นสัมผัสกราฟ y = f(x) ณ จุด(1,0)

1. $ y=1/2(x-1)$
2. $y = x-1$
3. $ y = 1/2x -1$
4. $y-1 = 1/2x$

ขอบคุณมากครับ ช่วยแสดงวิธีคิดให้หน่อยนะครับ (ใช้ latex ไม่ค่อยเป็น โทษทีครับ)

เฉลย 1. 3 2. 1 ลากแถบๆดำๆนะครับ

ข้อ 1
ถ้า $ x^2+x+1 |(x^{2n} + 1 +(x+1)^{2n}) $ แสดงว่ารากของ $ x^2+x+1$ ต้องเป็นรากของ $ x^{2n} + 1 +(x+1)^{2n}$

ถ้าให้ $\omega $ เป็นรากของ $ x^2+x+1$ ดังนั้น $ \omega^2+ \omega+1 =0$

และ $ 0=\omega^{2n} + 1 +(\omega+1)^{2n} = \omega^{2n} + 1 +(\omega^2+2\omega+1)^n = \omega^{2n} + 1 +(\omega)^n \cdots (*)$

สังเกตอีกนิด จะพบว่า $ \omega^3=1$

แล้วลองแทนค่า n เข้าไปใน (*) ครับ จะพบว่า 21 ไม่ทำให้สมการเป็น 0 ได้

ข้อ 2
ถ้า $g(x)= \ln x $ แล้ว $ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\ln(1+h)}{h}= g'(1) =1 $

จากนั้นสังเกตว่า $ f(x) = \frac{1}{2}g(x)$ ก็เรียบร้อยครับ

ขอบคุณมากครับ