ข้อสอบอสมการจากRomania
เป็นข้อสอบ Romania JBST 2007 ครับ
กำหนดให้ $a,b,c > 0$ และ $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \geq 1$ จงพิสูจน์ว่า $a+b+c \geq ab+bc+ca$ |
ผมว่าข้อนี้ยากนะครับ
คิดมาหลายวันแล้วยังไม่ออกเลย (หรือว่า เราอ่อนเองหว่า?) |
cauchy-schwarz inequality |
อ้างอิง:
|
Solution อีกแบบครับ
$$\sum_{cyc}(1-\frac{a+b}{a+b+1}) \geq 1 \Leftrightarrow 2 \geq \sum_{cyc}(\frac{a+b}{a+b+1}) = \sum_{cyc}\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+(a+b)} \geq$$ $$\frac{4(a+b+c)^2}{2\sum_{cyc}(a^2+ab+a)}$$ $$\rightarrow \sum_{cyc}(a^2+ab+a) \geq (a+b+c)^2 \Leftrightarrow a+b+c \geq ab+bc+ca$$ |
โอย ผมละชอบโคชีจริงๆเลย สวยมาก
(แต่ทำไม่เคยออก "- -) |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:29 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha