Nested Radical
ช่วยคิดหน่อย
ให้พิสูจน์ว่า |
รอน้องๆมาช่วยคิดตั้งนานแล้ว ลองไปดูที่หัวข้อ โจทย์ของคนมีระดับ
|
พอจะทำได้แล้ว (จะทำข้อ 3 ของโจทย์ของคนมีระดับก่อน)
จาก (x+n+a)^2 = (n+a)^2 + 2(n+a)x + x^2 = ax + (n+a)^2 + x[(x+n+a)+n] นั่นคือ (i) x+a+n = sqrt(ax + (n+a)^2 + x[(x+n+a)+n]) จาก (i) แทนค่า x ด้วย x+n (ii) (x+n+a)+n = sqrt(a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)[(x+2n+a)+n]) แทนค่า (ii) ลงใน (i) ตรงวงเล็บ [ ] ทางขวาของ (i) (iii) x+a+n = sqrt(ax + (n+a)^2 + x*sqrt(a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)[(x+2n+a)+n])) ทำซ้ำโดยแทนค่า x ด้วย x+2n ใน (i) (iv) (x+2n+a)+n = sqrt(a(x+2n) + (n+a)^2 + (x+2n)[(x+3n+a)+n]) แทนค่า (iv) ลงใน (iii) ตรงวงเล็บ [ ] ทางขวาของ (iii) (v) x+a+n = sqrt(ax + (n+a)^2 + x*sqrt(a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)*sqrt(a(x+2n) + (n+a)^2 + (x+2n)[(x+3n+a)+n]))) โดยการทำซ้ำๆ ไปเรื่อยๆ จะได้ x+a+n = sqrt(ax + (n+a)^2 + x*sqrt(a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)*sqrt(a(x+2n) + (n+a)^2 + (x+2n)*sqrt(...)))) ตามต้องการ เมื่อแทนค่า x=2, a=0, n=1 จะได้ 3 = sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + 4sqrt(...)))) แต่จะแสดงว่ามัน converge ได้อย่างไร :confused: :confused: :confused: |
การทำ recursive ไปเรื่อยๆยังไม่สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่ามันได้ค่านั้นจริงๆ เช่น
6 = ึ2(18) = ึ2ึ2(162) = ึ2ึ2ึ2(13122) = ึ2ึ2ึ2ึ2(86093442) = ึ2ึ2ึ2ึ2ึ2ึ... 2 = ึ2(2) = ึ2ึ2(2) = ึ2ึ2ึ2(2) = ึ2ึ2ึ2ึ2(2) = ึ2ึ2ึ2ึ2ึ... \ เราจึงไม่สามารถสรุปได้ว่า 3 =ึ1+2ึ16 = ึ1+2ึ1+3ึ25 = ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ36 = ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ1+5ึ... |
ข้อนี้แก้ด้วย squeez theorem โดยการพิสูจน์ว่า lower bound และ upper bound ของ recursive radical มีค่าเท่ากับ 3 แต่ต้องมีความรู้เรื่อง functional เล็กน้อย
|
มาดูวิธีทำแบบยืดยาดของผมกันดีก่า :D
เริ่มจากให้ {an} เป็นลำดับต่อไปนี้ a1 = ึ1+2 a2 = ึ1+2ึ1+3 a3 = ึ1+2ึ1+3ึ1+4 a4 = ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ1+5 ... จะเห็นว่าสิ่งที่เราต้องการก็คือค่าของลิมิตของลำดับ {an} นั่นเอง เพื่อช่วยในการพิสูจน์เราสร้างลำดับ {bn} ขึ้นมาดังนี้ b1 = ึ9 = 3 b2 = ึ1+2ึ16 = 3 b3 = ึ1+2ึ1+3ึ25 = 3 b4 = ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ36 = 3 ... ดังนั้น bn = 3 "nฮN และ 3 ก็คือค่าลิมิตของลำดับ {bn} มาถึงจุดนี้ถ้าเราต้องการแค่แสดงว่า {an} เป็นลำดับที่คอนเวอร์จก็เพียงให้สังเกตว่า 1. {an} เป็น monotonic increasing sequence นั่นคือ an ฃ an+1 "nฮN 2. {an} เป็นลำดับที่มี upper bound เพราะ an ฃ bn = 3 "nฮN เราก็จะรู้ได้ทันทีว่า {an} คอนเวอร์จ แต่เนื่องจากเราต้องการหาลิมิตของ an เราสามารถข้ามขั้นตอนนี้ไปได้ แล้วมาพิจารณาค่าของ limnฎฅ (an - bn) แทน ซึ่งถ้าเราหาได้ว่าลิมิต นี้เท่ากับ 0 เราก็จะรู้ทันทีว่าลำดับ {an} คอนเวอร์จและมีค่าลิมิตเท่ากับ 3 เพื่อช่วยในการพิสูจน์และทำให้การนิยามลำดับ {an} และ {bn} รัดกุมยิ่งขึ้น อีกทั้งยังสามารถใช้เป็น algorithm ในการคำนวณหาค่าของ an ด้วยคอมพิวเตอร์ได้ ผมจะสร้าง arrays {an,k} และ {bn,k} โดยที่ nฮN และ 0 ฃ k ฃ n ขึ้นดังนี้ an,0 = n+1 an,k = (n-k+1)ึ1+an,k-1 bn,0 = (n+1)(n+3) bn,k = (n-k+1)ึ1+bn,k-1 จะเห็นว่า an,n = an bn,n = bn an,k ณ 0 bn,k = (n-k+1)(n-k+3) bn,k+1 = (n-k+2)2 ดังนั้นเราจะได้ว่า bn,k - an,k = (n-k+1){ึ1+bn,k-1 - ึ1+an,k-1} = (n-k+1)(bn,k-1 - an,k-1)/{ึ1+bn,k-1 + ึ1+an,k-1} = (n-k+1)(bn,k-1 - an,k-1)/{(n-k+3) + ึ1+an,k-1} ฃ {(n-k+1)/(n-k+4)}(bn,k-1 - an,k-1) ดังนั้น(อีกที) 0 ฃ bn - an = bn,n - an,n ฃ {n!/((n+3)!/6)}(bn,0 - an,0) = 6/(n+3) เนื่องจากเรารู้ว่า limnฎฅ 6/(n+3) = 0 เราจึงสามารถสรุปได้แล้วว่า limnฎฅ an = 3 |
ให้ xn = ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ...
จะได้ xn = ึ1 + (n + 1) xn + 1 ----- (1) เนื่องจาก ึ1 + (n + 1)(n + 1 + a) = ึ [n + (a + 2)/2]2 + [a + 2 - [(a + 2)/2]2] โดย [a + 2 - [(a + 2)/2]2] ณ 0 ก็ต่อเมื่อ |a| ฃ 2 หรือ ึ1 + (n + 1)(n + 1 + a) ณ n + (a + 2)/2 ก็ต่อเมื่อ |a| ฃ 2 ----- (2) หากเราพิสูจน์ได้ว่า xn ณ n + a โดยที่ |a| ฃ 2 และใช้อสมการ (2) กับสมการ (1) จะได้ xn = ึ1 + (n + 1)xn + 1 ณ ึ1 + (n + 1)(n +1 + a) ณ n + (a + 2)/2 เนื่องจาก |(a + 2)/2| ฃ 2 เสมอ หากเราทำซ้ำอสมการใหม่ที่ได้กับอสมการ (2) และสมการ (1) ไปเรื่อยๆ ค่า a ใหม่ที่ได้ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของ a เดิม กับ 2 จะขยับเข้าหา 2 เรื่อยๆ ดังนั้นเมื่อทำซ้ำไม่รู้จบจึงได้ xn ณ n + 2 ในทำนองเดียวกัน หากเราพิสูจน์ได้ว่า xn < b (n + 2) โดยที่ b ณ 1 จะได้ xn = ึ1 + (n + 1)xn + 1 < ึ1 + (n + 1)(bn + 3b) ฃ ึb (n + 2) หากเราทำซ้ำอสมการที่ได้ไปเรื่อยๆ จะได้ค่า b ใหม่ขยับเข้าใกล้ 1 ดังนั้นเมื่อทำซ้ำไม่รู้จบจึงได้ xn ฃ n + 2 หากเราหาค่า a และ b ดังกล่าวมาได้ จะสรุปได้ว่า n + 2 ฃ xn ฃ n + 2 หรือ xn = n + 2 นั่นเอง เนื่องจาก xn > ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 1)ึ1 + ... > n + 1 เมื่อ n > -1 หรือ a = 1 นั่นเอง เนื่องจาก xn ฃ ึ(n + 2)ึ(n +3)ึ(n + 4)ึ(n + 5)ึ ... เมื่อ n ณ -2 xn ฃ ึ(n + 2)ึ2(n + 2)ึ4(n + 2)ึ8(n + 2)ึ ... = 2 (n + 2) หรือ b = 2 นั่นเอง จากค่า a และ b ดังกล่าวสรุปได้ว่า xn = n + 2 เมื่อ n > -1 จึงได้ x1 = 3 |
โทษทีครับที่เพิ่งมาตอบ :p
ถ้าจะมองในแง่การพิสูจน์ให้ rigorous แล้ววิธีของคุณ TOP จะมีปัญหาตั้งแต่ บรรทัดแรกเลยครับ เพราะเรายังไม่รู้เลยว่า nested radicals ในบรรทัดแรกลู่เข้า รึเปล่า เราจึงยังไม่สามารถกำหนดให้มันเท่ากับอะไรได้ จริงๆแล้วเรายังพูดถึงการ ลู่เข้าไม่ได้ด้วยซ้ำไป เพราะเรายังไม่ได้กำหนดว่า ... ในที่นี้หมายถึงลำดับอนันต์อะไร (เหมือนกับในเรื่องผลบวกของอนุกรมอนันต์ที่เราต้องกำหนดว่ามันคือลิมิตของ ลำดับของผลบวกย่อย) แต่ยังไงก็ขอขอบคุณคุณ TOP มากเลยครับที่ได้มาแสดงวิธีทำให้ดู :) |
ไม่ได้เจอคุณ warut ตั้งนาน ช่วงนี้งานเยอะสิครับ :)
สำหรับเหตุผลของการลู่เข้า ผมแสดงไว้ตอนท้าย ตรงหาค่า a และ b ออกมา ซึ่งไม่ได้อ้างอิงสมการด้านบนแต่อย่างใด จะได้ n + 1 < ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ฃ 2 (n + 2) เมื่อ n > -1 จากนั้นผมก็แก้ไขขอบเขตให้แคบเข้า จนขอบเขตบนและล่างเป็นค่าเดียวกัน (สำหรับบรรทัดแรก ผมเขียนเพื่อให้ดูสมการตอนปรับขอบเขตได้ง่ายขึ้น คุณ warut จะลองแทน xn ด้วย ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ทั้งหมดก็ย่อมได้) |
ผมควรจะมาตอบตั้งนานแล้วแต่ก็ไม่ได้ทำสักที แย่จริงๆ :(
จนกระทั่งได้แรงกระตุ้นจากบทความใหม่ของคุณ gon นี่แหละจึงได้เข้ามาตอบ :p คืออย่างนี้ครับ ตามความเห็นของผม ปัญหาในการพิสูจน์ของคุณ TOP อยู่ที่คุณ TOP กำหนดให้ xn = ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... เนื่องจาก "..." นี่แหละที่ทำให้ xn ไม่ "well-defined" เพราะเราไม่รู้ว่าเจ้า "..." เนี่ย มันจะนำเราไปทางไหนสำหรับแต่ละค่าของ n มันอาจจะลู่เข้า หรือไปสู่อนันต์ หรือค่า มันอาจแกว่งไปมาก็ได้ พูดให้เจาะจงลงไปก็คือเราไม่รู้ด้วยซ้ำไปว่า x1 หาค่าได้หรือไม่ อาจเป็นไปได้ด้วยซ้ำว่า x1 คอนเวอร์จ แต่ x2 ไดเวอร์จ ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง x1 ก็ไม่เท่ากับ ึ1 + 2x2 ในการพิสูจน์การลู่เข้าของ xn คุณ TOP อ้างถึงสมการ xn = ึ1 + (n + 1)xn+1 แต่เราไม่ มีทางรู้ว่าสมการนี้เป็นจริงหรือไม่ตราบใดที่เรายังไม่รู้ว่า xn หาค่าได้ (ลู่เข้า) "nฮN แค่การจับเอา n + 1 ไปแทนค่า n ในนิยามของ xn ไม่อาจถือได้ว่าเป็นการพิสูจน์สมการ ดังกล่าว ทั้งนี้เป็นเพราะมีการกระทำที่เกิดขึ้นเป็นอนันต์ครั้งในสูตร ตามความเห็นของผม การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ "rigorous" ใดๆจำเป็นต้องหลีกเลี่ยง operation ที่ทำเป็นอนันต์ครั้งโดยที่ยังไม่ "well-defined" เสมอ ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้ ประกอบนะครับ กำหนดให้ f(t) = 1 + t + t2 + t3 + ... จะได้ว่า 1 + t*f(t) = 1 + t(1 + t + t2 + ...) = 1 + t + t2 + ... = f(t) ให้ t = 2 จะได้ 1 + 2f(2) = f(2) ดังนั้น f(2) = -1 เกิดความผิดพลาดขึ้นแล้วไง! ไม่รู้ว่าคุณ TOP พอจะมองเห็นประเด็นที่ผมพยายามพูดอยู่รึป่าว :confused: |
ผมเข้าใจประเด็นนั้นครับ และขอบเขตของ xn ก็แสดงไว้ตรงนี้แล้วครับ (น่าจะถูกนะครับ)
ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... > ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 1)ึ1 + ... > n + 1 เมื่อ n > -1 ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ฃ ึ(n + 2)ึ(n +3)ึ(n + 4)ึ(n + 5)ึ ... ฃ ึ(n + 2)ึ2(n + 2)ึ4(n + 2)ึ8(n + 2)ึ ... = 2 (n + 2) เมื่อ n ณ -2 ดังนั้น n + 1 < ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ฃ 2 (n + 2) เมื่อ n > -1 ตรงจุดนี้ผมยังไม่รู้ว่าลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งหรือไม่ แต่ค่าของ xn อยู่ในช่วงนี้แน่ๆ จากนั้นผมก็หาวิธีปรับปรุง ขอบเขตบนและล่างของ xn ให้ดีขึ้น (ตามวิธีที่ได้บอกไว้ตอนแรก) จนสุดท้ายสรุปได้ว่า ขอบเขตบนและล่างเป็นค่าเดียวกัน จึงสรุปได้ว่า xn นั้นลู่เข้าจริง และมีค่าเป็น n+2 เพียงแต่ผมนำวิธีปรับปรุง ขอบเขตบนและล่างของ xn มานำเสนอก่อน และบอกไว้ว่าถ้าหาขอบเขตบน และล่างมาได้ตามเงื่อนไขที่กำหนด (หากเราพิสูจน์ได้ว่า xn ...) จะสรุปได้ว่า xn = n + 2 ถ้าหาขอบเขตตามเงื่อนไขดังกล่าวไม่ได้ ก็สรุปไม่ได้ถูกไหมครับ ตัวอย่างที่คุณ warut ให้มานั้น f(t) ไม่มีขอบเขตตั้งแต่แรกแล้วนี่ครับ และถ้าจะทำแบบเดียวกับที่ผมทำก็จะเป็นลักษณะนี้ครับ เริ่มจากขอบเขตล่าง เมื่อ t > 0 f(t) > 1 1 + t*f(t) = f(t) > 1 + t (1) > 1 + t ซึ่งก็ถูกต้อง ทำซ้ำอีกครั้งจะได้ 1 + t*f(t) = f(t) > 1 + t (1 + t) > 1 + t + t2 ซึ่งก็ถูกต้องอีก ทำไปเรื่อยๆก็จะได้ขอบเขตล่างที่ดีขึ้น เอาเป็นว่าผมเรียบเรียงวิธีพิสูจน์ใหม่ ให้ดูครึ่งหนึ่งแล้วกันนะครับ และจะไม่พูดถึง xn อีก (ที่เขียนในรูป xn เพื่อให้อ้างอิงสมการยาวๆได้ง่ายแค่นั้นละครับ ไม่ได้เน้นตรงที่เป็นสมการเลย) เนื่องจาก ึ1 + (n + 1)(n + 1 + a) = ึ [n + (a + 2)/2]2 + [a + 2 - [(a + 2)/2]2] โดย [a + 2 - [(a + 2)/2]2] ณ 0 ก็ต่อเมื่อ |a| ฃ 2 หรือ ึ1 + (n + 1)(n + 1 + a) ณ n + (a + 2)/2 ก็ต่อเมื่อ |a| ฃ 2 และเนื่องจาก ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... > ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 1)ึ1 + ... > n + 1 เมื่อ n > -1 หรือ ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + (n + 4)ึ1 + ... > n + 2 เมื่อ n > -2 ดังนั้น ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... > ึ1 + (n + 1)(n + 1 + 1) ณ n + 3/2 จากนั้นทำซ้ำขั้นตอนเดิมๆ ไปเรื่อยๆสุดท้ายจะได้ ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ณ n + 2 |
ในที่สุดผมก็มาถึงบางอ้อเสียที ต้องขอโทษคุณ TOP ด้วยที่ต้องเสียเวลามาพิมพ์
มากมายหลายครั้งเพื่ออธิบาย ตอนนี้ผมคิดว่าผมเข้าใจแนวคิดของคุณ TOP จริงๆ แล้วล่ะ (ก็มันลึกซึ้งยากที่จะหยั่งถึงนี่นา) ถ้ามีโอกาสผมจะศึกษาการพิสูจน์ของคุณ TOP ในรายละเอียดอีกที ยังไงก็ขอบคุณมากๆครับ :D |
How do we prove this Identities :
$$x+n+a=\sqrt{ax+(n+a)^2+x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a)^2+(x+2n)\sqrt{...}}}}$$ |
ขุดกระทู้หน่อยนะครับ :)
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:24 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha