หรม.
 

อ่านหนังสือ แล้วเกิดข้อสงสัย ในข้อความต่อไปนี้ค่ะ
If $p$ is the smallest prime dividing $n$ then $(p!,n)=p$
โดย sense คิดว่าข้อความนี้เป็นจริงอย่างแน่นอน แต่อยากพิสูจน์ได้เป็นลายลักษณอักษรน่ะค่ะ
ยังไงก็ขอความช่วยเหลือด้วยนะคะ

แนวคิด: เขียน $n=\prod p_i^{k_i}$ โดยให้ $p_i<p_{i+1}$
หาก $2|n$ จะได้ $p_1=2$ ทำให้ $(2!,n)=2$
ให้ $2\not\vert n$ หลังจากดึงตัวร่วม $p_1$ จะแจงได้เมื่อ $k_1=1$ หรือ $k_1>1$ ว่า $p_i\not\vert (p_1-1)!$ ###

ให้ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่หารทั้ง $n$ และ $p!$ ลงตัว
เนื่องจาก $q|n$ จะได้ว่า $q\geq p$
เนื่องจาก $q|p!$ จะได้ว่า $q\leq p$
ดังนั้น $q=p$ นั่นคือตัวหารร่วมมากของ $n$ และ $p!$ จะอยู่ในรูป $p^k$ สำหรับบางค่า $k\geq 1$
แต่ $p^k\nmid p!$ ทุกค่า $k\geq 2$
เราจึงได้ว่า $(p!,n)=p$