[สอวน. นเรศวร 2557] สอวน. นว. 2557
 

ผมเป็นคนนครสวรรค์ครับ เพิ่งไปสอบสอวน. เมื่อวันเสาร์ที่ผ่านมา (รู้สึกว่าจะสอบช้ากว่าที่อื่น)
รบกวนผู้รู้โปรดช่วยเฉลยให้ผมด้วยขอรับ
ขอขอบพระคุณล่วงหน้า

1. ให้ ${a^2+b^2=1025}$ แล้วผลรวมของ ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 105
จงหา ${a+b}$
2. ให้ 3x+2y=1 แล้ว จงพิสูจน์ว่า ${(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\geqslant12\sqrt2+18}$
(ไม่แน่ใจเครื่องหมาย มากกว่าเท่ากับ ครับ อาจจะเป็นน้อยกว่าเท่ากับ ขออภัยด้วยครับ)
3. จงหาจำนวนเต็มคี่ k ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ ${\frac{2014^k+1}{2015}}$ หารด้วย 2015 ลงตัว

ต่อนะครับ
4. กำหนดให้ ${x^3-mx^2+nx-m=(x-a)(x-b)(x-c)}$ โดยให้ ${a,b,c,m,n}$ เป็นจำนวนจริง
แล้ว เศษที่ได้จากการหาร ${x^2-3x-9}$ ด้วย ${x-n}$ มีค่าเท่าใด
5. กำหนดให้มีตัวอักษร E X A M I S F U N จงหาจำนวนวิธีการเรียงตัวอักษรดัวกล่าว โดยไม่เกิดคำว่า EXAM หรือ IS หรือ FUN

โจทย์ให้แสดงวิธีทำทุกข้อครับ มี 10 ข้อ ขอเรียบเรียงก่อน แล้วจะมาโพสต์ต่อให้นะครับ

--ขอคารวะ--

มาช่วยคิด ถ้าผิดก็บอกด้วยนะคะ :)

# 1

[a,b] + (a,b) = 105 = 3 x 5 x 7
เนื่องจาก หรม เป็นตัวประกอบของ ผลบวกของ ครน กับ หรม
ถ้า (a,b) = 1 จะได้ [a,b] = 104 แล้ว ab = 104 ทำให้ $ a^2 + 2ab + b^2 = 1233 $
ถ้า (a,b) = 3 จะได้ [a,b] = 102 แล้ว ab = 306 ทำให้ $ a^2 + 2ab + b^2 = 1637 $
ถ้า (a,b) = 5 จะได้ [a,b] = 100 แล้ว ab = 500 ทำให้ $ a^2 + 2ab + b^2 = 2025 $
ถ้า (a,b) = 7 จะได้ [a,b] = 98 แล้ว ab = 686 ทำให้ $ a^2 + 2ab + b^2 = 2397 $
ถ้า (a,b) = 15 จะได้ [a,b] = 90 แล้ว ab = 1350 ทำให้ $ a^2 + 2ab + b^2 = 3725 $
ถ้า (a,b) = 21 จะได้ [a,b] = 84 แล้ว ab = 1764 ทำให้ $ a^2 + 2ab + b^2 = 4553 $
ถ้า (a,b) = 35 จะได้ [a,b] = 70 แล้ว ab = 2450 ทำให้ $ a^2 + 2ab + b^2 = 5925 $

มีเพียง 2025 ที่เป็นจำนวนกำลัง 2
a+b = +45, -45

# 3

$ 2014^k + 1 $

$ = (2015 – 1)^k + 1 $

$ = 2015^k + {k\choose1}2015^{k-1} (-1) + … + {k\choose k-2} 2015^2 (-1)^{k-2} + {k\choose k-1} 2015 (-1)^{k-1} + (-1)^k + 1 $

$ เนื่องจาก\; k \;เป็นเลขคี่ ดังนั้น\; (-1)^k + 1 = 0 $

$ = 2015^k + {k\choose1}2015^{k-1} (-1) + … + {k\choose k-2} 2015^2 (-1)^{k-2} + {k \choose k-1} 2015 (-1)^{k-1} $

$ = 2015^k + {k\choose1}2015^{k-1} (-1) + … + {k\choose k-2} 2015^2 (-1)^{k-2} + k \cdot 2015 $

$ เนื่องจาก\; 2015^2 \mid 2015^k + {k\choose1}2015^{k-1} (-1) + … + {k\choose k-2} 2015^2 (-1)^{k-2} $

$ ดังนั้น\; 2015^2 \mid k \cdot 2015 $

$ ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ\; 2015 \mid k $

ดังนั้น k ที่น้อยที่สุดคือ 2015

เดาว่า $x,y>0$ นะครับ

แทนค่า $x=\dfrac{1-2y}{3}$ ลงไปจะได้ว่าอสมการสมมูลกับ

$(y+4-3\sqrt{2})^2\geq 0$

สมการเป็นจริงเมื่อ $x=3-2\sqrt{2},y=3\sqrt{2}-4$

หมายถึง สอวน ม.นเรศวรหรือป่าวครับ

ข้อ 1 น่าจะสมมติให้ d =(a , b) จะง่ายกว่านะครับ แล้วจะได้ d = 5

$|A' \cap B' \cap C' | = |U| - |A| - |B| - |C| + |A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - |A \cap B \cap C| = 9! - 6! - 8! -7! + 5! + 6! + 4! - 3!$

ใช่ครับ เป็นของมน.

ขอบพระคุณทุกท่านที่ช่วยเฉลยมาก ๆ ครับ
--ขอคารวะ--