|
Mathcenter Contest Round 1 Matayom Longlist
(โจทย์แยกตามผู้เสนอโจทย์) ข้อที่ใช้แข่งขัน ข้อ 1,2,3,6,7,10,12,13 โจทย์ระดับโอลิมปิกของคุณ Mathophile 1 ข้อได้รับเลือกไปใช้ในครั้งถัดไปครับ Top 1. ศาสตราจารย์สติเฟื่องท่านหนึ่ง เดินขึ้นบันไดเลื่อนในห้างพันธุ์ทิพย์ ด้วยความเร็วคงที่ 1 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเดินถึงบันไดเลื่อนชั้นบนสุด ก็นึกขึ้นได้ว่าลืมบัตร ATM ที่เพิ่งเบิกเงินสดไว้ในตู้ ATM ชั้นล่าง บังเอิญช่วงเวลานั้น ยังไม่มีใครขึ้นบันไดเลื่อน ท่านจึงตัดสินใจวิ่งย้อนลงบันไดเลื่อน ด้วยความเร็วคงที่ 3 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเก็บบัตร ATM ได้แล้ว ก็เกิดอาการสนุกลองเดินขึ้น และวิ่งลงบันไดเลื่อนแบบเดิมอีกครั้ง แต่คราวนี้ท่านสังเกตว่า ในขาขึ้นท่านเดินผ่านขั้นบันไดเลื่อน 18 ขั้น และในขาลงท่านวิ่งผ่านขั้นบันไดเลื่อน 90 ขั้น อยากทราบว่า ณ เวลาหนึ่ง เรามองเห็นขั้นบันไดเลื่อนกี่ขั้น ? ที่มา: Problem Solving Through Recreational Mathematics 2. O N E T W X เป็นเลขโดดที่แตกต่างกันทั้งหมด จงหาเลขฐานทั้งหมดซึ่งทำให้ การบวกต่อไปนี้มีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียว \[\begin{array}{c} \begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{N} & \rm{E} & _+ \end{array} \\ \underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\ \underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{N} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}} \end{array}\] ที่มา: Problem Solving Through Recreational Mathematics passer-by 3. $ A , B $ เป็นจุดบนวงกลม โดยมีพิกัด $ (-16,-9) $ และ $ (20 ,18)$ ตามลำดับ $C$ เป็นจุดบน $AB$ โดย $ AC : CB = 4 :5 $ ถ้า $ D, E $ เป็นจุดบนวงกลมโดย $ DC > CE $ และ $D, C, E $ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หาระยะ $ DC $ เมื่อ $ DC^2+ CE^2 = 5000 $ 4. สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC พิสูจน์ว่า $ 2\cos A \cos B \cos C \geq \cos A \cos B +\cos B \cos C+ \cos A \cos C - \frac{1}{2}$ nooonuii 5. จงหาจำนวนเต็มบวก $a< b< c$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$2^a+2^b+2^c=33554466$$ (แต่งโจทย์เอง) 6. จงหาจำนวนจริง $x,y$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ $$\displaystyle{x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2y}}}}$$ $$\displaystyle{y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2x}}}}$$ (แต่งโจทย์เอง) Mathophile 7. จงบอกวิธีสร้าง (พร้อมพิสูจน์) วงกลมที่มีพื้นที่เป็น 1 ใน 3 ของวงกลมที่กำหนดให้ โดยใช้เพียงวงเวียนและสันตรง Aorn 8. จำนวนเชิงซ้อน $z=1-\frac{\sqrt3}{2}i$ จงหาค่าของ $z^5$ และตำแหน่งของ $z^5$ ในระบบพิกัดฉาก ที่มา: http://www.thai-mathpaper.net/papers_offline.php Gon 9. จงพิสูจน์ว่า $\sin \frac{2\pi}{15} + \sin \frac{4\pi}{15} + \sin \frac{8\pi}{15} + \sin \frac{16\pi}{15} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ Heir of Ramanujan 10. กำหนดให้ $\log_{10} 2 \approx 0.3010, \log_{10} 3 \approx 0.4771, \log_{10} 5 \approx 0.6990$ และ $\log_{10} 7 \approx 0.8451$ จงหาค่าของเลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน $10$ ที่มา: http://www.artofproblemsolving.com/F...c.php?t=198870 หยินหยาง 11. กำหนดสมการ $log_x36 +log_{18}(3x) = 3$ จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้ 12. จากรูป จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม PQRS โดยที่สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากและมีความยาวแต่ละด้านดังรูป โดยมีหน่วยเป็นเซนติเมตร  Timestopper_STG 13. จงหาค่าของ $\displaystyle{\cos^{2}71^{o}+\cos^{2}79^{o}+\sqrt{3}\cos 71^{o}\cos 79^{o}}$ แนวคิดในการแต่งโจทย์มาจากกระทู้ http://www.vcharkarn.com/vcafe/142502 ข้อ 55 14. กำหนดให้โลกใช้เวลาในการโคจรรอบดวงอาทิตย์ 365 วันและดาวพุธโคจรรอบดวงอาทิตย์ใช้เวลา 88 วัน ถามว่าดวงอาทิตย์ ดาวพุธ และ โลกจะอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันทุก ๆ กี่วัน(ตอบเป็นจำนวนเต็ม) (ให้ประมาณว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลมแทนที่จะเป็นวงรี) |
10.
$\log_{10} 5^{200} = 200\,\log_{10} 5 \approx 200(0.6990) = 139.8$ จะได้ $5^{200} \approx 10^{139.8} = 10^{0.8} \times 10^{139}$ เนื่องจาก $1 < 10^{0.8} < 10$ เลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ คือ เลขหลักหน่วยของ $10^{0.8}$ (เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน $10$) เนื่องจาก $\log_{10} 6 = \log_{10} 3 + \log_{10} 2 \approx 0.7781$ และ $log_{10} 7 \approx 0.8451$ และ $0.7781 < 0.8 < 0.8451$ แสดงว่า $10^{0.7781} < 10^{0.8} < 10^{0.8451}$ $10^{\log_{10} 6} < 10^{0.8} < 10^{\log_{10} 7}$ นั่นคือ $6 < 10^{0.8} < 7$ เลขหลักหน่วยของ $10^{0.8}$ คือ $6$ ดังนั้น เลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ คือ $6$ ป.ล. ไม่มีใครเข้ามาเฉลยเลย อย่างน้อยเจ้าของโจทย์เข้ามาเฉลยวิธีของตัวเองซะหน่อยก็ยังดีนะครับ :rolleyes: |
อ้างอิง:
ข้อ 1. ให้ n แทนจำนวนขั้นของขั้นบันไดเลื่อน, และ v แทนความเร็วของบันไดเลื่อน จากโจทย์ทีกำหนดให้ ความเร็วที่ใช้ขึ้นบันไดเลื่อน 1 ขั้น/วินาที และในขาขึ้นเดินผ่านขั้นบันไดเลื่อน 18 ขั้นดังนั้นใช้เวลา 18 วินาที สำหรับขาลงใช้ความเร็วคงที่ 3 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที แต่ผ่านขั้นบันไดเลื่อน 90 ขั้นแสดงว่าใช้เวลา 30 วินาที จากการวิเคราะห์โจทย์ข้างต้นจะสามารถตั้งเป็นสมการได้ดังนี้ $18v+18=n .................(1)$ $90-30v=n ..................(2)$ จะเห็นว่าสมการ (1)= สมการ (2) แก้สมการได้ $v = \frac{3}{2}$ ขั้นต่อวินาที นำ $v = \frac{3}{2}$ ขั้นต่อวินาที ไปแทนลงในสมการที่ (1) เพื่อหา $n$ จะได้ว่า $n=45$ เพราะฉะนั้น ณ เวลาหนึ่ง เรามองเห็นขั้นบันไดเลื่อนทั้งหมด 45 ขั้น วิธีทำ จากสิ่งที่โจทย์กำหนดจะได้ว่าระยะของ $AB =\sqrt{((20-(-16))^2+((18-(-9))^2} = 45$ จากโจทย์ที่กำหนด $AC:CB=4:5 $ ทำให้ได้ว่าระยะ $AC=20;CB=25$ สมมุติให้จุด $C$ มีโคออร์ดิเนต $(h,k)$ สามารถหาจุด $(h,k)$ ได้โดย $AC = \sqrt{(h+16)^2+(k+9)^2} = 20 .............(1)$ $CB = \sqrt{(20-h)^2+(18-k)^2} = 25 .............(2)$ แก้สมการหา$ (h,k)$ ได้ $(0,3)$ จากทบ.เรขาคณิตที่กล่าวไว้ว่า คอร์ด 2 คอร์ดตัดกันภายในวงกลมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนตัดของคอร์ดย่อมเท่ากัน นั่นคือ $(AC)(CB)=(DC)(CE) $ $2(AC)(CB)=2(DC)(CE)=2(20)(25)=1000 $ โจทย์กำหนดว่า$ DC>CE$ และ $DC^2+CE^2=5000$ เพราะฉะนั้น$(DC+CE)^2=6000$ และ $(DC-CE)^2=4000$ จากเงื่อนไขโจทย์ แก้สมการข้างต้นทำให้ได้ว่า $DC =10( \sqrt{15}+\sqrt{10})$ และ $EC =10( \sqrt{15}-\sqrt{10})$ ดังนั้น $DC =10( \sqrt{15}+\sqrt{10})$ วิธีทำ ${x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2y}}}}..........(1)$ ${y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2x}}}}..........(2)$ นำค่าของ y ในสมการที่(2) แทนลงในสมการที่ (1) ตรงพจน์หลังและต่อจากนั้นก็นำค่าของ x แทนต่อสลับไปมาเเรื่อยๆ จะได้ว่า ${x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{....}}}}}}}}.....(3)$ ดังนั้นจะได้ว่า $x^2 =x+2y.....(4)$ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า ${y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{....}}}}}}}}......(5)$ และ $y^2 = y +2x.......(6)$ นำสมการ (4)$-$สมการ(6) $x^2-y^2 = y-x$ $(x-y)(x+y)+(x-y) = 0$ $(x-y)(x+y+1) = 0$ แต่ $x+y+1>0$ ดังนั้น $x=y$ แทนค่า$x=y$ ในสมการที่ (4) $x^2 =x+2x$ $x(x-3) = 0$ $\therefore x=0,3$ นำไปแทนค่าในสมการที่โจทย์กำหนดพบว่าเป็นจริงทั้ง 2 ค่า $x ={0,3}$ วิธีทำ $log_x36 +log_{18}(3x) = 3$ $\frac{2log6}{logx} + \frac{log3+logx}{log3+log6} = 3$ $(2log6)(log3+log6) + (log3+logx)(logx) =3(logx)(log3+log6)$ $2(log6)(log3)+2(log6)(log6) + (log3)(logx)+(logx)(logx) =3(logx)(log3)+3(logx)(log6)$ $2(log6)(log3)+2(log6)^2 +(logx)^2 - 2(logx)(log3)- 3(logx)(log6) = 0$ $(logx-log6)(logx-2log6-2log3) = 0$ $logx = log6, 2log6 + 2log3$ จะได้ว่า $x= 6$ หรือ $324$ นำค่าของ $x$ ที่ได้ไปแทนลงในสมการที่กำหนด พบว่าเป็นคำตอบของสมการ ดังนั้น $x$={6, 324} วิธีทำ นำรูปไป plot ลงในกราฟ เพื่อหาจุดตัดของ PQRS และต่อจากนั้น ก็จะหาพื้นที่จากจุดตัดดังกล่าว ซึ่งจะได้รูปดังข้างล่าง  ต่อจากนั้นก็หาสมการของเส้นตรงของ AG, CE, BH และ DF เพื่อหาจุดตัดของ สี่เหลี่ยม PQRS จะได้ว่าสมการเส้นตรง AG คือ $y =\frac{5}{8}x$ จะได้ว่าสมการเส้นตรง CE คือ $y =\frac{5}{8}x+1$ จะได้ว่าสมการเส้นตรง BH คือ $y =-x+8$ จะได้ว่าสมการเส้นตรง DF คือ $y =-x+6$ จากสมการทั้ง 4 เส้นจะหาจุดตัดของ สี่เหลี่ยม PQRS ได้ดังนี้ จุด P คือ $(\frac{40}{13},\frac{38}{13})$ จุด Q คือ $(\frac{48}{13},\frac{30}{13})$ จุด R คือ $(\frac{64}{13},\frac{40}{13})$ จุด S คือ $(\frac{56}{13},\frac{48}{13})$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยม PQRS จะเท่ากับ $= \frac{1}{2}\vmatrix{\frac{40}{13} & \frac{48}{13} & \frac{64}{13} & \frac{56}{13} & \frac{40}{13} \\ \frac{38}{13} & \frac{30}{13} & \frac{40}{13} & \frac{48}{13} & \frac{38}{13}} $ $ =\frac{1}{2}\left|\,[(\frac{40}{13})(\frac{30}{13})+(\frac{48}{13})(\frac{40}{13})+(\frac{64}{13})(\frac{48}{13})+(\frac{56}{13})(\frac{38}{13})]-[(\frac{38}{13})(\frac{48}{13})+(\frac{30}{13})(\frac{64}{13})+(\frac{40}{13})(\frac{56}{13})+(\frac{48}{13})(\frac{40}{13})]\right.\left.\,\right|$ $ = \frac{16}{13}$ พื้นที่สี่เหลี่ยม $PQRS = \frac{16}{13}$ ตารางเซนติเมตร |
มาทำต่อให้ครับ
ข้อ 5. วิธีทำ จาก $a< b< c$ และ $2^a+2^b+2^c=33554466$ จะได้ว่า $33554466$ สามารถแยกตัวประกอบได้ $2*3^3*11*56489$ ดังนั้น $2^a+2^b+2^c = 2^a(1+2^{b-a}+2^{c-a}) = 2*3^3*11*56489$ $\therefore a = 1$ และจะได้ว่า $1+2^{b-a}+2^{c-a} = 3^3*11*56489 = 16777233$ $2^{b-a}+2^{c-a} = 16777233-1 = 16777232$ $2^{b-a}(1+2^{c-a-b+a}) = 16777232 = 2^4*17*61681$ $\therefore b-a = 4$ นั่นคือ $b=5$ และจะได้ว่า $1+2^{c-a-b+a} = 17*61681 =1048577$ $2^{c-a-b+a} = 1048577-1 = 1048576 =2^{20}$ $\therefore c-b = 20$ นั่นคือ $c = 25$ สรุป ค่าของ $a=1, b=5, c=25$ วิธีทำ $\cos^{2}71^{o}+\cos^{2}79^{o}+\sqrt{3}\cos 71^{o}\cos 79^{o}= (\cos71^{o}+\cos79^{o})^2+(\sqrt{3}-2)\cos 71^{o}\cos 79^{o}$ $=(\cos71^{o}+\cos79^{o})^2+(\frac{\sqrt{3}-2}{2})2\cos 71^{o}\cos 79^{o}$ $=(2\cos75^{o}\cos4^{o})^2+(\frac{\sqrt{3}-2}{2})(\cos 150^{o}+\cos 8^{o})$ $=(2(\cos45^{o}\cos30^{o}-\sin45^{0}\sin30^{o})\cos4^{o})^2+(\frac{\sqrt{3}-2}{2})(-\cos 30^{o}+\cos 8^{o})$ $=(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\cos4^{o})^2+(\frac{\sqrt{3}-2}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cos ^{2}4^{o}-1)$ $=(2-\sqrt{3})cos^24^o+\frac{1}{4}+(\sqrt{3}-2)cos^24^o$ $=\frac{1}{4}$ |
ว่าจะเอาเฉลยมาลงให้เหมือนกัน แต่ตอนนี้ไม่ต้องแล้วครับ
|
ข้อ 2 ยังไม่มีใครมาเฉลยสักที ผมเองก็เกือบจะลบไฟล์เฉลยที่ทำทิ้งไว้นานแล้วทิ้งไป ขอเอามาลงเลยละกัน :rolleyes:
2. O N E T W X เป็นเลขโดดที่แตกต่างกันทั้งหมด จงหาเลขฐานทั้งหมดซึ่งทำให้ การบวกต่อไปนี้มีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียว \[\begin{array}{c} \begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{N} & \rm{E} & _+ \end{array} \\ \underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\ \underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{N} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}} \end{array}\] สมมติว่าเป็นการบวกของเลขฐาน $B$ เนื่องจาก มีเลขโดด $6$ ตัวแตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้น $B \geqslant 6$ เห็นได้ชัดว่า $N = 1$ เสมอ เพราะว่าเลขสามหลักสองจำนวน มีผลรวมไม่ถึง $B^3 + B^3 = 2B^3$ หรือ $2000_B$ จึงได้ \[\begin{array}{c} \begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{1} & \rm{E} & _+ \end{array} \\ \underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\ \underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{1} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}} \end{array}\] จะพิจารณา ผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด แบ่งได้เป็น $2$ กรณีคือ
|
จากข้อ 5 ของ คุณหยินหยาง
ผมอยากรู้ว่า ตรง 33554466 สามารถแยกตัวประกอบได้ 2*33*11*56489 กับ 16777232=24*17*61681 ใช้สมบัติอะไรในการแยกหรือป่าวคับ หรือ มีวิธีแยกยังไง ขอบคุณครับ |
ผมว่า สุ่มตัวเลข หารไปเรื่อยๆก็น่าจะออกแล้วนะครับ :confused:
|
อ้างอิง:
เพราะว่า ถ้าจะเช็คว่า 56489 เป็นจำนวนเฉพาะ มันก็น่าจะยากนะครับ :confused: |
ไม่จำเป็นต้องแยกจนถึงจำนวนเฉพาะหรอกครับ แค่แยกเป็นจำนวนคู่กับจำนวนคี่ก็ได้แล้ว
|
|
โจทย์ข้อ 5 เป็นโจทย์ที่ผมแต่งเองกับมือไม่ได้ลอกใครมาแน่นอน
ถ้ามันจะถูกเผยแพร่ออกไปสู่แหล่งอื่นมันควรจะถูกอ้างอิงที่มาว่ามาจากที่นี่ ฝากบอกคนที่เอาโจทย์ไปใช้ด้วยนะครับว่าคราวหลังบอกว่าเอามาจาก mathcenter ซักนิดนะ เด็กที่ไปเรียนเขาจะได้รู้ว่ายังมีชุมชนของคนไทยที่รักคณิตศาสตร์อยู่ที่นี่ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:38 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha