![]() |
ข้อสอบโอลิมปิกไทยปี 47 รอบแรก ตอน 2 ข้อ 9-10
ผมลองทำข้อสอบโอลิมปิกไทยปี 47 รอบแรก ตอน 2 ที่อยู่หน้า
http://www.mathcenter.net/olympiad/2547/2547p02.shtml ดู ปรากฎว่ายากเหมือนกันมีหลายข้อเลยที่ยังทำไม่ได้ แต่ที่สำคัญคือ ผมว่าข้อ 9 กับข้อ 10 น่าจะมีปัญหาดังนี้ครับ ข้อ 9. g-1 ไม่สามารถหาได้เพราะ g ไม่ได้เป็น 1-1 ฟังก์ชัน (อาทิเช่น g(t) = -3 จะมี 3 คำตอบ) แต่ผมไม่คิดว่าผู้ออกข้อสอบต้องการให้ตอบว่า "หาค่าไม่ได้" เพราะไม่เช่นนั้นคงไม่อธิบายเกี่ยวกับฟังก์ชัน f มาซะยาวเหยียดแต่กลับไม่ต้องใช้เลย ข้อ 10. ผมไม่เข้าใจว่า y ในโจทย์คืออะไร ไม่รู้ว่าเป็นค่าคงที่ หรือ y = f(x) หรือ สมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง y หรือ อย่างอื่น ผมเดาไม่ถูกจริงๆ ใครที่ทำข้อนี้ได้ช่วยอธิบายให้หน่อยนะครับ แต่ในความเห็นของข้าน้อยคิดว่าโจทย์ ข้อนี้คลุมเครือเกินไป ว่างๆจะพยายามทำข้ออื่นๆต่อครับ :p |
ช่วยทำข้อ 1-3 ตอนที่ 2 ด้วยน่ะค่ะ จะรอฟังเฉลย ทั้งหมด
|
อืม ช่วยเอาโจทย์มาลงด้วยจะดีมากอ่ะ ไม่มีโจทย์ งง
จะไปเปิดดูก็ไม่รู้ว่าข้อเดียวกันป่าว |
ยังไม่ได้ลองคิดดูนะครับ. เดี๋ยวขอลองคิดดูก่อน แต่อย่างข้อ 10. สมการฟังก์ชัน โดยทั่วไป้ทั้ง y และ x ก็คงจะหมายถึงเป็นตัวแปรนะครับ.
|
ได้รับข้อความแล้ว ขอบคุณค่ะ
(ถ้าว่างอย่าลืมเฉลย ละเอียดน่ะ) |
โจทย์ข้อ 10 ที่อยู่ใน web พิมพ์ผิดครับ โจทย์จริงคือ
xf(x)+f(1-x)=2x-x^2 |
ขออภัยที่ทำให้เกิดเป็นปัญหาที่กำกวม ผมผิดเองครับ. ทั้งสองข้อ ข้อ 9 นั้นตกคำว่า "จำนวน" ไปซึ่งเป็น f(n) แทนจำนวนคู่อันดับ (x, y) , ...
ส่วนข้อ 10 ก็เป็นอย่างที่คุณ Topominov ว่าไว้.ซึ่งผมแก้เรียบร้อยแล้วครับ. อย่างไรถ้าคิดว่ายังมีที่ผิดตรงไหนอีก ก็บอกด้วยล่ะกันครับ. |
อ๋อ...ที่แท้ข้อ 10. ก็เป็นอย่างนี้เอง ขอบคุณคุณ Topominov (เดาว่าเป็นนักคณิตศาสตร์
ชาวรัสเซียที่อ่านไทยได้คนหนึ่ง) ที่มาบอก ช่วงนี้หาคนเข้ามาตอบยากจริงๆ ผมเอง หลังจากสะสางเรื่องที่ตัวเองก่อเอาไว้แล้วก็คงจะหยุดเล่นไปซักพักเหมือนกันเพราะว่า เพิ่งได้ของเล่นชิ้นใหม่มา ;) ส่วนข้อ 9. เรื่องที่คุณ gon บอกว่าตกคำว่า "จำนวน" ไปเนี่ยผมเห็นแล้วล่ะครับ แล้วก็ เดาได้ด้วย แต่เรื่องฟังก์ชัน g ที่ผมบอกเนี่ยมันก็ยังคงมีปัญหาอยู่ดีแหละ :rolleyes: |
เรื่อวฟังก์ชัน g เราก็อย่าไปซีเรียสกับเขาสิครับ. สมมติว่ามันอยู่ในช่วงที่หา อินเวอร์สได้ก็พอ คนตั้งโจทย์คงจะเบลอไปว่าเป็น y = x3 ธรรมดา ๆ ผมลองวาดรูปดูแล้ว ก็มีช่วงแคบ ๆ ที่ทำให้มันไม่ 1 - 1
|
นั่นน่ะสิเนอะ...สงสัยจะมีผมคิดมากไปคนเดียว ผมก็ได้แต่หวังว่าคงไม่มีใครตอบไปว่า
หาค่าไม่ได้เพราะไม่งั้นมีโอกาสเสียค่าโง่มากเลย :D ป.ล. ท่านเชื่อหรือไม่ว่าในการพิสูจน์ว่า "ฟังก์ชัน f จะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 และ onto" นั้นต้องอาศัย Axiom of Choice ด้วย! |
ไกลไปหรือเปล่าครับ. ผมคิดว่าผมพิสูจน์ได้นะ โดยไม่ใช้ Axiom of Choice แล้วถ้าใช้จะออกมาแบบไหนครับนี่. :rolleyes:
|
ไม่ทราบครับ เอาเป็นว่าให้ทั้งท่าน warut และกร ช่วยกันพิสูจน์ให้พวกเราดูคนละวิธีดีมั้ยครับ
|
เดี๋ยวขอผมเตรียมรายละเอียดนึดหนึ่งก่อน. คุณ warut สนใจต่อไหมครับ. :D
|
แหม...คุณ TOP ไม่ต้องเรียก "ท่าน" ก็มาพิสูจน์ให้ดูแล้วครับ
อย่างแรกมาทบทวนกันก่อนนะครับว่าฟังก์ชันที่มีอินเวอร์สหมายความว่าอย่างไร ให้ f เป็นฟังก์ชันจากเซ็ต A ไปยังเซ็ต B โดยที่ A และ B ไม่เป็นเซ็ตว่าง เราจะกล่าวว่า f มีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อเราสามารถหาฟังก์ชัน g: BฎA และฟังก์ชัน h: BฎA ที่ทำให้ gทf = 1A และ fทh = 1B 1A ในที่นี้คือ identity function on A นั่นคือ 1A(a) = a "aฮA ทำนองเดียวกัน 1B ก็คือ identity function on B ถ้าหากเราสามารถหาฟังก์ชัน g และ h ดังกล่าวได้ เราจะพบว่า g = h (ซึ่งพิสูจน์ได้ ไม่ยาก ลองทำดูกันนะครับ) เราเขียนแทน g (และ h) ด้วยสัญลักษณ์ f-1 และ เรียกมันว่าฟังก์ชันอินเวอร์สของ f อย่างที่เรารู้ๆกันอยู่แล้ว มีทฤษฎีบทอันหนึ่งบอกเอาไว้ว่า (1) เราจะหา g ได้ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 (2) เราจะหา h ได้ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน onto สรุปว่าการพิสูจน์ว่า "ฟังก์ชัน f จะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 และ onto" ก็คือการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้นี่เอง Axiom of Choice จะถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ "ขากลับ" ของ (2) ซึ่งก็คือข้อความที่ว่า "ถ้า f: AฎB เป็นฟังก์ชัน onto แล้วเราจะสามารถหาฟังก์ชัน h: BฎA ที่ทำให้ fทh = 1B ได้" ผมจะแสดงการพิสูจน์เฉพาะส่วนที่ใช้ Axiom of Choice นี้เท่านั้นนะครับ (แค่นี้ก็พิมพ์แทบไม่ไหวแล้ว) พิสูจน์ สำหรับแต่ละ bฮB จะเห็นว่าเซ็ต Ab = { aฮA | f(a) = b } ไม่ใช่เซ็ตว่าง เพราะ f เป็นฟังก์ชัน onto ดังนั้นสำหรับแต่ละ bฮB เราสามารถเลือกสมาชิก ab ฮ Ab ขึ้นมาตัวนึงได้เสมอโดยอาศัย Axiom of Choice นี่แหละ เสร็จแล้วเราก็กำหนด ฟังก์ชัน h: BฎA ให้เป็นฟังก์ชันที่มี h(b) = ab "bฮB เราก็จะได้ว่า fทh = 1B ตามต้องการ :D จริงๆผมก็คิดอยากจะเขียนบทความสนุกๆเกี่ยวกับ Axiom of Choice เหมือนกันนะครับ แต่หลังจากตอบข้อนี้แล้วก็รู้ว่าคงไม่มีทางทำได้สำเร็จแน่ :rolleyes: |
รู้สึกว่าผมจะไม่เข้าใจว่า Axiom of choice มันคืออะไรนะ :eek: (รบกวนคุณ warut อธิบายสั้น ๆ แต่ได้ใจความอีกครั้งได้ไหมครับ. ดูเหมือนว่าจะเคยคุยกันมานานแล้ว :p ) แต่วิธีการพิสูจน์ของผม แทบจะเหมือนคุณ warut เป๊ะเลย. ผมก็ต้องอ้าง identity function เหมือนกัน และ ก็ปัญหาก็คือตอนขากลับนี่ล่ะที่จึ๊ก ๆ ๆ
ว่าก็ว่าคุณ warut ถ้าเขียนบทความมาผมจะรีบลงให้เลยครับ. :D |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 08:14 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha