โจทย์ AMC
 

What is the largest three digit number with the property that the number is equal to the sum of its hundreds digit, the square of its tens digit and the cube of its units digit?

$598$ ครับ

ขอบคุณครับ

ช่วยบอกวิธีทำด้วยได้ใหมครับ ผมทำตั้งนานแล้ว แต่ยังไม่รู้เลยว่าจะทำยังไงครับผม

$\boxed{\text{Note: หลักหน่วยของกำลังสองสมบูรณ์ เป็นได้แค่ } 0,1,4,5,6,9}$

เนื่องจากเราต้องการทราบค่ามากสุดซึ่งการเปรียบเทียบค่านั้น แน่นอนอย่างแรกที่จะพิจารณาคือหลักร้อย

สมมติว่า จำนวนนั้นเขียนในระบบเลขฐานสิบเป็น $abc$

โดยคุณสมบัติจากโจทย์ได้ว่า $\boxed{100a+10b+c=a+b^2+c^3}$ --- (I)

$a+b^2+c^3\leqslant 9+9^2+9^3=819$ จาก (I) ได้ว่า $a \le 8$

ถ้า $a=8$ จะได้ $c=9$ เพราะถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ค่าฝั่งขวาของ (I) จะน้อยกว่า $800$ แน่นอน จากหลักหน่วยของฝั่งซ้ายของ (I) คือ $9$ และหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $7$ ดังนั้น $b^2$ หลักหน่วยต้องเป็น $2$ ซึ่งขัดแย้งกับที่ Note ไว้

ถ้า $a=7$ จะได้ $c=9$ เพราะถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ค่าฝั่งขวาของ (I) จะน้อยกว่า $700$ แน่นอน จากหลักหน่วยของฝั่งซ้ายของ (I) คือ $9$ และหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $6$ ดังนั้น $b^2$ หลักหน่วยต้องเป็น $3$ ซึ่งขัดแย้งกับที่ Note ไว้

ถ้า $a=6$ จะได้ว่า $c\not= 9$ เพราะค่าฝั่งขวาจะเกิน $699$ แน่นอน ดังนั้น $a+b^2+c^3 \le 6+9^2+8^3=599$ ขัดแย้งอย่างชัดเจน เพราะค่าฝั่งขวายังไม่ถึง $600$

ถ้า $a=5$ จะได้ว่า $c=8$ เพราะไม่เช่นนั้นจะทำให้ค่าฝั่งขวามากกว่า $599$ หรือน้อยกว่า $500$ ตอนนี้พิจารณาหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $7$ ดังนั้นหลักหน่วยของ $b^2$ คือ $1$ จะได้ $b=1,9$

ณ ตอนนี้ถึงบทสรุปแล้ว ตรวจสอบว่าค่า $598$ มีคุณสมบัติตามสมการ (I) หรือไม่ ถ้าใช่ $598$ ก็จะเป็นแชมป์ค่ามากสุด ซึ่งทำให้ได้คำตอบ พบว่า $598=5+9^2+8^3$ จริง

ดังนั้น คำตอบคือ $598$

มีคำถามเพิ่มเติมอยากให้ลองคิดดูว่า นอกจาก $598$ มีจำนวนสามหลักอื่นที่มีคุณสมบัติตามโจทย์ มีอะไรบ้าง

แนะนำว่าอย่าพึ่งคลิกด้านล่าง อยากให้ลองคิดดูก่อนนะครับ ถ้าคิดได้แล้วอยากตรวจคำตอบก็คลิกได้เลยครับ

ครับ จะลองดูครับ