Hojoo ง่ายๆ ข้อนึงครับ
ถ้า x y เป็นจำนวนเต็มบวกที่หลักหน่วยของ $x^2+xy+y^2$ เป็น 0
จงแสดงว่า ทั้ง x และ y ต่างก็ลงท้ายด้วย 0 :great: วิธีของผมก็เรียบง่ายครับ เช็ค mod 2 กับ mod 5 ถึกนิดๆหน่อยๆ ไม่ทราบว่าเหล่าเทพๆ ในบอร์ดนี้มีวิธีอื่นอีกหรือเปล่าครับ |
$10|x^2+xy+y^2$
$10|x^3-y^3$ ---(1) สมมติ f(a) เป็นหลักหน่วยของ $n^3$, เมื่ิอ $n\equiv amod 10, 0\leqslant a\leqslant 9$ แทนค่า a = 0,1,...,9 จะได้ f(a) มีค่าไม่ซ้ำและมีได้ค่าเดียว นั่นคือ f(a) เป็น f:1-1 ---(2) สมมติ $x\equiv a_x mod 10, 0\leqslant a_x\leqslant 9$ $y\equiv a_y mod 10, 0\leqslant a_y\leqslant 9$ (1); $f(a_x)-f(a_y)=0$ $f(a_x)=f(a_y)$ (2); $a_x=a_y$ $\therefore 10|x-y$ พิจารณา $10|x^2+xy+y^2$ คงแก้ได้ง่ายๆครับ |
ไม่ถนัด $mod$ เท่าไหร่ ทำแบบนี้ได้มั้ยครับ
(i) $x=y$ $x^2+xy+y^2=3x^2=10k$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $10|x$ และ $10|y$ (ii) $x\not=y$ (1) ให้ $y=x+10a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก $x^2+xy+y^2=3x^2+10(10a^2+3ax)=10k$ ดังนั้น $10|x$ และ $10|y$ (2) ให้ $y=x+a$ $\ \ 1\leqslant a\leqslant 9$ $x^2+xy+y^2=3x^2+3ax+a^2=3x(x+a)+a^2=3xy+a^2=10k$ แต่ $10\nmid a^2$ จึงไม่เป็นจริง จาก (i) และ(ii) $x$ และ $y$ ต้องลงท้ายด้วย $0$ |
ขอขอบคุณพี่ๆมากครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:04 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha