จำนวนอตรรกยะ
ทุกจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการ x^3+x+3=0 เป็นจำนวนอตรรกยะ
ปล. ขอเเนวทางการพิสูจน์เเบบข้อขัดเเย้งหน่อยครับ |
ใช้ทฤษฎีบทรากตรรกยะ
|
อ้างอิง:
ให้ x=m/n เป็นคำตอบของสมการ พอเเทนลงไปเเล้วยังหาทางไปต่อไม่ถูกครับ >< |
อ้างอิง:
|
จำนวนตรรกยะที่จะเป็นรากของสมการนี้มี 4 รู้เท่านั้น อะไรบ้าง
|
อ้างอิง:
เเต่เอาไปแทนในสมการเเล้วเป็นเท็จครับผม |
ลองแลกเปลี่ยนแนวคิดกันดูนะครับ.............
วิธีพิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง $$x^{3}+x+3=0$$ จากสมการข้างบนเรารู้ว่ารากของสมการเป็นจำนวนจริงแค่ 1 ค่า อีก 2 ค่าติดอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพอยู่ วิธีหาค่ารากก็ใช้วิธีทาง Nummerical method เพราะกราฟของ $y=x^{3}+x+3$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มตลอดค่า $x$ เช่นแทน $x=-2 ได้ y=-7 และ แทน x=-1 ได้ y=1$ แสดงว่า รากของสมการ $x^{3}+x+3=0$ อยู่ระหว่าง -2 และ -1 คือรากเป็นค่าลบ $$ให้ x=-\frac{m}{n} โดยที่ m,n\in I^{+} และ (m,n)=1,x^{3}+x+3=0$$ ถ้าเราสามารถพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก m,n ที่มีคุณสมบัติตามที่ว่านี้ได้ แสดงว่า รากเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ถ้าเกิดข้อขัดแย้ง ก็แสดงว่าหาm,n ไม่ได้ รากของสมการก็ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ .....แทน ค่า $x=-\frac{m}{n}$ ลงในสมการ $x^{3}+x+3=0$ จัดรูป จะได้ $$ 3n^{3}=m^{3}+n^{2}m....................(1)$$ แสดงว่า $3\mid (m^{3}+n^{2}m)$ คราวนี้ก็ใช้ทฤษฎีจำนวนผมสรุปได้ว่า $3\mid m เพราะ 3\nmid (n^{2}+1)$ ....ให้ $m=3p,p\in I^{+}$ แทนลงไปในสมการ (1) จัดรูปอีกเหมือนเดิม จะได้ $$n^{3}=9p^{3}+pn^{2}.......................(2)$$ จากสมการ(2) ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะเกิดข้อขัดแย้งทันที แสดงว่า $2\mid n $ และส่งผลให้ $2\mid p$ จากข้อสรุป $2\mid n และ2\mid p$ ทำให้ $(p,n)\not= 1$ ซึ่งก็คือ $(m,n)\not= 1$ เกิดข้อขัดแย้งไม่สามารถหาค่า $m,n \in I^{+}และ (m,n)=1 ได้$ สรุปว่ารากของสมการ$x^{3}+x+3=0$ที่เป็นจำนวนจริงเป็นจำนวนอตรรกยะ |
อ้างอิง:
ขอบคุณครับผม ^^ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 08:21 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha