ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 (ข้อความที่ 135787)

จาก $\left \lfloor {x} \right \rfloor\leqslant x<\left \lfloor {x} \right \rfloor+1$ เราได้ว่า $4(\left \lfloor {x} \right \rfloor)^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51\leqslant 4x^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51=0<4(\left \lfloor {x} \right \rfloor+1)^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51$
เมื่อแก้อสมการออกมาเราจะได้ว่า $\frac{3}{2} \leqslant \left \lfloor {x} \right \rfloor< \frac{5}{2} \vee \frac{11}{2} < \left \lfloor {x} \right \rfloor\leqslant \frac{17}{2} $ แต่ $\left \lfloor {x} \right \rfloor \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left \lfloor {x} \right \rfloor=2,6,7,8$ เท่านั้น
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=2 \Rightarrow 2\leqslant x<3$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(2)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{29}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=6 \Rightarrow 6\leqslant x<7$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(6)+51=0 \Rightarrow x=\frac{3\sqrt{21}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=7 \Rightarrow 7\leqslant x<8$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(7)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{229}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=8 \Rightarrow 8\leqslant x<9$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(8)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{269}}{2} $
$\therefore x=\frac{\sqrt{29}}{2},\frac{3\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{229}}{2},\frac{\sqrt{269}}{2}$

ให้ $A=\frac{2x}{1+x},B=\frac{2y}{1+y} $ จะได้ระบบสมการเป็น $A^3+B^3=-7,AB=-2 \Rightarrow (A+B)((A+B)^2-3(-2))=-7\Rightarrow A+B=-1 \Rightarrow (A,B)=(-2,1),(1,-2)$ จะได้ $(\frac{2x}{1+x},\frac{2y}{1+y})=(-2,1),(1,-2) \Rightarrow (x,y)=(-\frac{1}{2},1),(1,-\frac{1}{2})$

จัดรูปเป็น $(x+y)^2+(625-x+y)^2=625^2$ โดย pythagorus triple : $(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$ พิจารณา $375^2+500^2=625^2,175^2+600^2=625^2,220^2+585^2=625^2,336^2+527^2=625^2$ จากนั้นแก้สมการสองตัวแปรจะได้คำตอบเป็น $(x,y)=(100,75),(130,90),(217,119),(250,125),(375,125),(408,119),(495,90),(525,75)$

ให้$P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)$ จะได้ว่า $P(x)=(x^2-1)Q(x)=(x^3+x^2-1)R(x)-1\Rightarrow 1=(x^3+x^2-1)R(x)-(x^2-1)Q(x)$ จาก Euclidean Algorithm เราได้ $$x^3+x^2-1=(x^2-1)(x+1)+x$$
$$x^2-1=x(x)-1$$ ทำย้อนกลับเราจะได้ว่า $$1=x(x)-(x^2-1)=x((x^3+x^2-1)-(x^2-1)(x+1))-(x^2-1)=(x^3+x^2-1)(x)-(x^2+x+1)(x^2-1)$$
ดังนั้นจึงได้ว่า $P(x)=(x^2-1)(x^2+x+1)=x^4+x^3-x-1$

จัดรูปสมการเป็น $$(x^{2552}-2x^{2551}+x^{2550})+(2x^{2550}-4x^{2549}+2x^{2548})+(3x^{2548}-6x^{2547}+3x^{2546})+...+(1276x^2-2552x+1276)+1277=0 $$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
$$(x-1)^2[x^{2550}+2x^{2548}+3x^{2546}+...+1276]+1277=0$$ จะได้ $L.H.S>0$ดังนั้น สมการโจทย์จึงไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 (ข้อความที่ 136085) ขอบคุณมากครับ. 19นี้เข้าค่ายแล้ว สอบเต็ม250ต้องได้กี่คะแนนหรอครับถึงติด แล้วควรลงหนักวิชาไหน ขอบคุณครับ

FE ค่าย 3 ปี 53 5. กำหนด $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้ (i) $f(m+n)-f(m)-f(n)$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทุกจำนวนนับ $m,n$ (ii) $f(2)=0$ และ $f(3)>0$ (iii) $f(9999)=3333$ จงหาค่าของ $f(2010)$

จากเงื่อนไขข้อที่ 1

แสดงว่ามีฟังก์ชันสองตัวแปร $a : \mathbb{N}^2 \rightarrow \{ 0,1 \}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
$$f(m+n)=f(m)+f(n)+a(m,n)$$
ดังนั้น
$$f(2)=2f(1)+a(1,1)$$
$$0=2f(1)+a(1,1)$$
แต่ $f(1) \ge 0$ และ $a(1,1) \ge 0$ แสดงว่า $f(1)=0$ เท่านั้น

ดังนั้น
$$f(3)=f(1)+f(2)+a(1,2)$$
$$f(3)=a(1,2)$$
แต่จากเงื่อนไขบอกว่า $f(3)>0$ แสดงว่า $f(3)=1$ เท่านั้น

ประเด็นจะอยู่ต่อจากนี้ไป เราจะเริ่มกระจาย $f(9999)$ โดยลดลงทีละ 3 ดังนี้
$$f(9999)=f(9996)+f(3)+a(9996,3)$$
$$f(9996)=f(9993)+f(3)+a(9993,3)$$
$$f(9993)=f(9990)+f(3)+a(9990,3)$$
$$\vdots$$
$$f(6)=f(3)+f(3)+a(3,3)$$
รวมทุกสมการได้ว่า
$$f(9999)=3333f(3)+\sum_{n=1}^{3332} a(3n,3)$$
แทนค่าของฟังก์ชันได้ว่า
$$\sum_{n=1}^{3333} a(3n,3)=0$$
แสดงว่าเป็นไปได้กรณีเดียวคือ
$$a(3,3)=a(6,3)=a(9,3)= \cdots =a(9996,3)=0$$
นั่นคือ $a(k,3)=0$ เมื่อ $3|k$ และ $3 \le k \le 9996$

แต่ว่า $3|2010$ ในทำนองเดียวกัน แสดงว่า
$$f(2010)=f(2007)+f(3)$$
$$f(2007)=f(2004)+f(3)$$
$$\vdots$$
$$f(6)=f(3)+f(3)$$
รวมทุกสมการได้ว่า
$$f(2010)=670f(3)$$
นั่นคือ $f(2010)=670$ #

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine (ข้อความที่ 136113) กรณี 2 : $x+f(x)=c$ เมื่อ $c \in \mathbb{R}$ เป็นค่าคงที่ แก้สมการได้ $c=2$ นั่นคือ $f(x)=2-x$ เป็นอีกคำตอบ สรุปได้ $f \equiv \dfrac{2}{3}$ และ $f(x)=2-x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$ เป็นคำตอบ #

6. หาจำนวนลำดับเทอร์นารีที่มีความยาว 6 และผลบวกทุกพจน์เป็นจำนวนคู่

ตอบ 365

ให้ $a_n$ แทน จำนวนของสตริงฐานสาม n หลัก ที่ผลบวกของเลขโดดทุกตัวเป็นจำนวนคู่
ให้ $b_n$ แทน จำนวนของสตริงฐานสาม n หลัก ที่ผลบวกของเลขโดดทุกตัวเป็นจำนวนคี่

จะได้ $a_n + b_n = 3^n ...(*)$

หา $a_n$
$a_n = a_{n, 0} + a_{n,1} + a_{n, 2} = a_{n-1} + b_{n-1} + a_{n-1} = 2a_{n-1} + b_{n-1}$ ...(**)

แต่จากสมการ (*) จะได้ $b_{n-1} = 3^{n-1} - a_{n-1}$ แทนใน (**) จะได้ $$a_n = a_{n-1} + 3^{n-1} , a_1 = 2, a_2 = 5$$
ดังนั้น $a_6 = 365$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 136193) #37 AM.-GM. กลับข้างอ่ะครับ - -* ปล.เห็นด้วยกับ #40 ครับคิดได้ไงอ่ะ 555

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine (ข้อความที่ 136173) ข้อ 6 ผมผิดจริงๆด้วยครับพี่ nooonuii ก็ว่าอยู่ว่าทำไมมันง่ายแปลกๆ :p

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine (ข้อความที่ 136048) Hint FE 2553 6. จัดรูปเป็น $f(f(y))=k-f(y)$ เมื่อ $k=\dfrac{2+f(0)}{2}$ แล้วหา $f(k)$ สมมติว่าเราเขียนได้ในรูปของเชิงเส้น, $f(k)=ak+b$ สร้าง $F= \{ x\, : \, f(x)=ax+b\}$ ได้ว่าอย่างน้อยมี $k \in F$ แล้วดูพฤติกรรมของเซตนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis (ข้อความที่ 136168) ค่าย 1/2554 อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{2ab+2+a} }\geqslant 1$$ เนื่องจาก $$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{2ab+2+a} } \geqslant \sum_{cyc}\frac{a}{a+ab+1} $$ $\dfrac{a}{a+ab+1}+\dfrac{b}{b+bc+1}+ \dfrac{c}{c+ac+1} =\dfrac{a}{a+ab+1}+\dfrac{ab}{ab+abc+a}+ \dfrac{abc}{abc+a(abc)+ab}=1$ ปล. โจทย์เดิมถูกแล้ว