|
ข้อสอบ สอวน ค่าย 3 ปี 58 (เข้าค่าย เม.ย. 59)
พิมพ์ผิดตรงไหนช่วยทักท้วงให้ด้วยนะครับ
เนื้อหาที่เรียน : Pompeiu Theorem, Pompeiu Triangle, Stewart Theorem, Leibniz Formula for Triangle, Orthic Triangle เวลาสอบ : 2 ชั่วโมง Pompeiu Theorem : ให้ $M$ เป็นจุดใดๆ และ $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้ว่าสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่มีความยาวเป็น $MA, MB, MC$ เราเรียกสามเหลี่ยมที่สร้างได้ว่า Pompeiu Triangle Orthic Triangle : คือสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจุดปลายส่วนสูง 1. ให้ $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าและ $M$ เป็นจุดภายใน $\Delta ABC$ 1.1 จงพิสูจน์ว่ามุมภายใน Pompeiu Triangle มีค่าเท่ากับ $A\hat MB-60^{\circ},\ A\hat MC-60^{\circ},\ B\hat MC-60^{\circ}$ (8 คะแนน)2.1 จงพิสูจน์ว่าจุด orthocenter ของ $\Delta ABC$ จะเป็น incenter ของ orthic triangle ของ $\Delta ABC$ (12 คะแนน) 2.2 จงพิสูจน์ว่า $A,B,C$ เป็น excenter ของ orthic triangle ของ $\Delta ABC$ (8 คะแนน) 3. ให้ $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และ $X,Y,Z$ เป็นจุดบน $BC,CA,AB$ จงพิสูจน์ว่า $XY^2+YZ^2+ZX^2$ สั้นสุดเมื่อ $X,Y,Z$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC,CA,AB$ (10 คะแนน) เนื้อหาที่เรียน : Pigeon Hole Problems, Advanced Binomial Coefficient Series, Double Counting, Coloring เวลาสอบ : 3 ชั่วโมง 1. จงหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกเซตซ้ำย่อยที่มีสมาชิก 12 ตัวของ $\{2\cdot a_1,\ 2\cdot a_2,\ 2\cdot a_3,\ ,..,\ 2\cdot a_{10}\}$ แล้วได้เซตซ้ำที่มีสมาชิกแตกต่างกัน $8$ ชนิด (10 คะแนน) 2. ในการปูกระเบื้องขนาด $1\times 1,\ 2\times 2,\ 3\times 3$ ลงบนพื้นขนาด $35\times 35$ โดยที่เราไม่สามารถแบ่งกระเบื้องออกเป็นส่วนๆ ได้ จะต้องใช้กระเบื้อง $1\times 1$ อย่างน้อยกี่อัน (10 คะแนน) 3. จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n+2016}{2}\right\rfloor}(-1)^{k}\binom{n+2016}{k}\binom{2n-2k+2014}{n+2015}=\binom{n+2016}{2017}$$ (15 คะแนน) 4. กำหนดให้ $sK_n$ คือกราฟที่มีจุดยอด $n$ จุด และมีเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดใดๆ $s$ เส้น ให้ $G, H$ เป็นกราฟสองกราฟใดๆ นิยามกราฟ $G\vee_t H$ คือการยูเนียนกันของ $G,H$ และเพิ่มเส้นเชื่อมเข้าาไประหว่างจุดหนึ่งใน $G$ กับอีกจุดหนึงใน $H$ $t$ เส้น ให้ $G,H$ เป็นกราฟสองกราฟใดๆ จะได้ว่า $G\mid H$ ก็ต่อเมื่อเราสามารถแบ่ง $H$ เป็นกราฟหลายๆกราฟ ที่ทุกๆ กราฟที่ถูกแบ่งจะสมสัณฐานกับ $G$ จงแสดงว่าถ้า $K_3\mid sK_m\vee_t sK_n$ แล้ว (i) $2\mid s(m-1)+tn$ และ $6\mid sm(m-1)+sn(n-1)+2tmn$ (5 คะแนน) (ii) $\dfrac{t}{s}\leq \dfrac{m^2-m+n^2-n}{mn}$ (10 คะแนน) เนื้อหาที่เรียน : Review Problems เวลาสอบ : 2 ชั่วโมง 1. จงหาจำนวนจริง $a,b$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^4-3ax^3+ax+b$ หารด้วย $x^2-1$ แล้วเหลือเศษ $(a^2+1)x+3b^2$ (10 คะแนน) 2. จงเขียน $S$ แบบแจกแจงสมาชิกเมื่อ $S=\left\{\left\lfloor\dfrac{x-n}{n}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{-(x+1)}{n}\right\rfloor\mid x\in\mathbb{R},\ n\in\mathbb{N}\right\}$ (15 คะแนน) 3. จงหาพหุนาม $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ ทั้งหมดที่ทำให้ $P(x^2)+x(3P(x)+P(-x))=P(x)^2+2x^2$ (25 คะแนน) เนื้อหาที่เรียน : TMO Problems เวลาสอบ : 2.5 ชั่วโมง 1. ให้ $a,b,c>0$ และ $a^2+b^2+c^2+abc=4$ จงพิสูจน์ว่า $a+b+c\geq abc+2$ (12.5 คะแนน) 2. ให้ $|a|, |b|, |c|, |d| >1$ และ $abc+bcd+cda+dab+a+b+c+d=0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{1}{b-1}+\dfrac{1}{c-1}+\dfrac{1}{d-1} >0$ (12.5 คะแนน) 3. จงหาฟังก์ชัน 1-1 $f,g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(x+f(y))=g(x)+h(y)$ $g(x+g(y))=h(x)+f(y)$ $h(x+h(y))=f(x)+g(y)\quad \forall x,y\in\mathbb{R}$ (12.5 คะแนน) 4. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f\left(\dfrac{y}{f(x+1)}\right)+f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y)\quad\forall x,y\in\mathbb{R}$ (12.5 คะแนน) เนื้อหาที่เรียน : Multiplicative Function, $\tau$, $\sigma$, $\phi$, $\mu$ Functions and Its properties. (สามารถอ่านได้จากหนังสือ สอวน) เวลาสอบ : 2.5 ชั่วโมง ข้อละ 10 คะแนน 1.จงพิสูจน์ว่าถ้า $f,g$ เป็นฟังก์ชันแยกคูณแล้ว $\displaystyle{\sum_{d|n}f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right)}$ เป็นฟังก์ชันแยกคูณ 2.1 จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{d\mid n}\dfrac{1}{d}=\dfrac{\sigma(n)}{n}}$ 2.2 จงพิสูจน์ว่าถ้า $m,n\in\mathbb{N}$ และ $(m,n)>1$ แล้ว $\sigma(mn)<\sigma(m)\sigma(n)$ 3. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{d\mid n}\phi(d)=n}$ 4.1 จงพิสูจน์ว่า $2\mid\phi(n)$ เมื่อ $n>2$ 4.2 จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{k<n,(k,n)=1}k=\dfrac{n\phi(n)}{2}}$ 5. ให้ $f(n)$ คือจำนวนเต็มบวก $k$ ที่น้อยที่สุดทีทำให้ $\tau(k)=n$ จงพิสูจน์ว่า $f(2^n)\mid f(2^{n+1})$ |
For $1)$
Rotate $\triangle{AMC}$ with center so that side $AC$ becomes $BC$, get $\triangle{BM'C}$ Then $\triangle{BM'C}$ is Pompeiu's Triangle We have $\angle{BM'M}=\angle{BMC}-60^{\circ}=\angle{AMC}-60^{\circ}$ And $\angle{BMM'}=\angle{BMC}-60^{\circ}$ And then we get $\angle{MBM'}=180^{\circ}-\angle{BMM'}-\angle{BM'M}=\angle{AMB}-60^{\circ}$ And let $x$ denote area of that triangle Consider other $2$ rotations get $3$ triangles outside $\triangle{ABC}$ Then we have $2[ABC]=3x+\frac{\sqrt{3}}{4}(MA^2+MB^2+MC^2)$ Then we use well-known identity that $MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+\frac{1}{3}(AB^2+BC^2+CA^2)$ for any triangle $ABC$ with centroid $G$ (in this case $G=O$) The result follow immediately |
For $2)$ It's just angle-chasing
For $3)$, let side length of $ABC$ is $t$, and $AY=a,BZ=b,CX=c$ Law of cosines give us $XY^2+YZ^2+ZX^2=a^2+b^2+c^2+(t-a)^2+(t-b)^2+(t-c)^2-\sum_{cyc}{a(t-b)}$ $=2a^2+2b^2+2c^2+3t^2-3t(a+b+c)+ab+bc+ca\geq (a+b+c)^2-3(a+b+c)t+3t^2\geq (a+b+c-\frac{3}{2}t)^2+\frac{3}{4}t^2\geq \frac{3}{4}t^2$ with equality hold when $a=b=c$ and $a+b+c=\frac{3}{2}t$ |
1. จงหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกเซตซ้ำย่อยที่มีสมาชิก 12 ตัวของ $\{2\cdot a_1,\ 2\cdot a_2,\ 2\cdot a_3,\ 2\cdot a_{10}\}$ แล้วได้เซตซ้ำที่มีสมาชิกแตกต่างกัน $8$ ชนิด (10 คะแนน)
อย่างเช่นอะไรหรือครับ. :confused: |
อ้างอิง:
|
Ie.2 จะได้ $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)$
หรือก็คือ $(\frac{a+1}{a-1})(\frac{b+1}{b-1})(\frac{c+1}{c-1})(\frac{d+1}{d-1})=1$ เราจะได้ว่าจากที่ค่าสัมบูรณ์ $>1$ จะได้ว่า $\frac{a+1}{a-1},\frac{b+1}{b-1},\frac{c+1}{c-1},\frac{d+1}{d-1}>0$ และอสมการที่เราต้องการ คือ $$\frac{2}{a-1}+\frac{2}{b-1}+\frac{2}{c-1}+\frac{2}{d-1}>0$$ $+4$ เข้าไปทั้งสองข้างจะได้อสมการสมมูลกับอสมการ $$\frac{a+1}{a-1}+\frac{b+1}{b-1}+\frac{c+1}{c-1}+\frac{d+1}{d-1}>4$$ ซึ่งเป็นจริงจาก $AM-GM$ (ใช้อสมการนี้ได้เพราะทุกตัวเป็นจำนวนจริงบวก:)) |
ลงครบ 5 วันแล้วนะครับ ใครอยากเฉลยเชิญตามสะดวกครับ
|
อ้างอิง:
จะได้ $a^2+1=-2a$ และ $3b^2=-b+1$ $\therefore (a,b)$ ได้แก่ $ (-1,\frac{-1+\sqrt{13} }{6}) $ และ $ (-1,\frac{-1-\sqrt{13} }{6} )$ |
อ้างอิง:
$P(x,y); \quad f(x+f(y))=g(x)+h(y)$ $P(0,x); \quad f(f(x))=g(0)+h(x)$ $P(f(x),y); \quad f(f(x)+f(y))=g(f(x))+h(y)$ $P(f(y),x); \quad f(f(x)+f(y))=h(x)+g(f(y))$ ดังนั้น $g(f(x))-h(x)=g(f(y))-h(y)$ $g(f(x))=h(x)+C_1$ ต่อมาพิจารณา $Q(x,y); \quad g(x+g(y))=h(x)+f(y)$ $Q(x,f(y)); \quad g(x+g(f(y)))=h(x)+f(f(y))$ $g(x+h(y)+C_1)=h(x)+h(y)+g(0)$ $Q(y,f(x)); \quad g(y+h(x)+C_1)=h(x)+h(y)+g(0)$ $g(x+h(y)+C_1)=g(y+h(x)+C_1)$ $x+h(y)+C_1=y+h(x)+C_1$ $h(x)-x=h(y)-y$ $h(x)=x+C_2$ ในทำนองเดียวกัน $f(x)=x+C_3,g(x)=x+C_4$ แทนลงในสมการจะพบว่า $C_2=C_3=C_4$ ดังนั้นคำตอบคือ $f(x)=g(x)=h(x)=x+k$ ครับ Comment a bit: ตอนทำรู้สึกว่าทำอย่างไร้จุดหมายมาก แต่ก็รู้สึกว่าเป็นข้อที่ยากข้อนึงเลยครับ |
FE ข้อ 4 ครับ ช่วยเช็คให้ด้วยนะครับ เผื่อมี bug
ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f\left(\dfrac{y}{f(x+1)}\right)+f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y)$ สมมติ $f(k)>\dfrac{1}{k}$ จะได้ว่า $P\left(\dfrac{1}{kf(k)-1},k\right)$ ให้ว่า $f(r)=0$ เมื่อ $r=\dfrac{k}{f\left(\dfrac{kf(k)}{kf(k)-1}\right)}$ ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง นั่นคือ $f(x)\le\dfrac{1}{x}\quad\forall x\in\mathbb{R}$ เมื่อประยุกต์ใช้อสมการที่เพิ่งได้มากับ $P(x,y)$ จะได้ $\dfrac{f(x+1)}{y}\ge f\left(\dfrac{y}{f(x+1)}\right)=f(y)-f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)\geq f(y)-\dfrac{xf(y)}{x+1}=\dfrac{f(y)}{x+1}$ นั่นคือ $af(a)\geq bf(b)$ เมื่อ $a>1$ ดังนั้นถ้าเราให้ $r,s>1$ จะได้ $rf(r)\geq sf(s)$ และ $sf(s)\geq rf(r)$ นั่นคือ $rf(r)=sf(s)=c$ เพราะฉะนั้น $f(r)=\dfrac{c}{r}\quad\forall r>1$ และจาก $f(x)\le\dfrac{1}{x}$ จะได้ $c\le 1$ การหาค่าของ $c$ สามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้ $P(1,2)$ และจะได้ว่า $c=1$ เพราะว่า $x+1>1$ เมื่อ $x\in\mathbb{R}^+$ นั่นคือ $P(x,y)$ กลายเป็น $f(y(x+1))+f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y)$ ตอนนี้เราเหลือแค่กรณี $x<1$ ซึ่งจะพิสูจน์โดยการอุปนัยว่า $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{n}$ กรณี $n=1$ ได้ทำไปแล้ว ต่อมาสมมติว่า $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{k}$ จะพิสูจน์ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{k+1}$ ให้ $a>\dfrac{1}{k+1}$ สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $a\left(\dfrac{a}{1-a}+1\right)>\dfrac{1}{k}$ สมมติ $f(a)\neq\dfrac{1}{a}$ นั่นคือ $f(a)<\dfrac{1}{a}$ และนอกจากนั้น $\dfrac{\dfrac{a}{1-a}+1}{\dfrac{a}{1-a}f(a)}=\dfrac{1}{af(a)}>\dfrac{1}{a\cdot\dfrac{1}{a}}=1$ นั่นคือ $P\left(\dfrac{a}{1-a},a\right)$ ให้ว่า $\dfrac{1}{a\left(\dfrac{a}{1-a}+1\right)}+af(a)=f(a)$ ซึ่งแก้สมการได้ไม่ยากว่า $f(a)=\dfrac{1}{a}$ เกิดข้อขัดแย้ง โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{n}\quad\forall n\in\mathbb{N}$ นั่นคือ $f(x)=\dfrac{1}{x}\quad\forall x\in\mathbb{R}$ ปล. fe จะออกยากไปถึงไหนครับเนี่ย |
ขอ ie ข้อ 1 กับ nt ข้อ 5 หน่อยครับ
ปล. ยอมกับ ie fe ปีนี้จริงๆ 555 |
NT ข้อ 5 อยู่ใน Shortlist IMO 2011 ครับ
|
use trigonometry |
ของผมยกกำลัง 2 อสมการที่ต้องการพิสูจน์ แล้วใช้ am-gm ยุบให้เหลือใน form ของ $abc$
|
Combinatoric ข้อที่ 2 ตอบเท่าใดกันครับ
อยากเห็นวิธีทำ (•_•) |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:20 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha