โจทย์พหุนาม....มีวิธีอื่นในการแก้โจทย์นี้ไหมครับ(ของ่ายๆ)
ช่วงนี้ได้หนังสือติวเข้าเตรียมจากพี่ๆในที่ทำงาน โจทย์ข้อนี้ถามง่ายมากแต่ผมคิดวิธีสั้นๆไม่ออก
ลองใช้ตัวค้นหาในเวปแล้วมันหาไม่เจอโพสที่มีคนเคยโพสไว้ครับ ถ้า $x^2+x-1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^{17}+bx^{16}+1$ แล้วจงหาค่าของ $a$ ผมทำแบบนี้ครับ ให้ $x_1,x_2$ เป็นรากของสมการ $x^2+x-1=0$ จะได้ว่า $x_1+x_2=-1,x_1x_2=-1$ $ax^{17}+bx^{16}+1=P(x)(x^2+x-1)$ แทน $x_1,x_2$ ลงใน $ax^{17}+bx^{16}+1$ $ax_1^{17}+bx_1^{16}+1=0$........(1) $ax_2^{17}+bx_2^{16}+1=0$........(2) คูณ(1)ด้วย $x_2^{16}$ $ax_1^{17}x_2^{16}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_2^{16}=0$........(3) คูณ(2)ด้วย $x_1^{16}$ $ax_1^{16}x_2^{17}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_1^{16}=0$........(4) (3)-(4) $ax_1^{16}x_2^{16}(x_1-x_2)+(x_2^{16}-x_1^{16})=0$ $a=\dfrac{x_1^{16}-x_2^{16}}{x_1-x_2} $ $a=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)(x_1^4+x_2^4)(x_1^8+x_2^8)$ $x_1^2+x_2^2=1-2x_1x_2=3$ $x_1^4+x_2^4=9-2(x_1x_2)^2=7$ $x_1^8+x_2^8=49-2(x_1x_2)^4=47$ $a=(-1)(3)(7)(47)=-987$ |
มีคนเฉลยข้อนี้ไว้หลายรอบแล้วครับ
วิธีของคุณหมอก็น่าจะเป็นวิธีที่สั้นที่สุดวิธีหนึ่ง |
ไม่รู้ว่าของผมสั้นไหมครับ คุณหมอกิตติ
ให้ $x^2+x-1=0$ ตามทฤษฎีเศษเหลือ จะได้ $x^2=1-x$ $x^4=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+1-x=2-3x$ $x^8=(2-3x)^2=4-12x+9x^2=4-12x+9-9x=13-21x$ $x^{16}=(13-21x)^2=169-546x+441x^2=169-546x+441-441x=610-987x$ $x^{17}=610x-987x^2=610x-987+987x=1597x-987$ แทนในตัวตั้งคือ $ax^{17}+bx^{16}+1=0$ ดังนั้น $-987a+610b+1=0...(1)$,$1597a-987b=0...(2)$ ได้ $a=-987$ |
ขอบคุณทุกความเห็นครับ ของคุณกระบี่เดียวดายแสวงพ่ายก็สั้นดี พอดีเพิ่งไปเจอว่ามีข้อสอบคล้ายกันใน 1988AIMEข้อ13
1988AIMEข้อ13 ถ้า $x^2-x-1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^{17}+bx^{16}+1$ จงหาค่าของ $a,b$ |
จากlink ที่ให้1988AIMEข้อ13 มีจุดผิดพลาด
และผมคิดว่าค่าa,bน่าจะเป็นได้หลายค่า ผู้เชี่ยวชาญ algebra ช่วยตรวจสอบให้หน่อยครับ |
ถ้าอย่างนั้นลองง่ายๆก่อนเลยครับ
พหุนาม $x^2-x-1$เป็นตัวประกอบของพหุนาม $ax^3+bx^2+1$มีกี่คำตอบครับ |
[quote=กิตติ;142251]ช่วงนี้ได้หนังสือติวเข้าเตรียมจากพี่ๆในที่ทำงาน โจทย์ข้อนี้ถามง่ายมากแต่ผมคิดวิธีสั้นๆไม่ออก
ลองใช้ตัวค้นหาในเวปแล้วมันหาไม่เจอโพสที่มีคนเคยโพสไว้ครับ ถ้า $x^2+x-1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^{17}+bx^{16}+1$ แล้วจงหาค่าของ $a$ ผมทำแบบนี้ครับ ให้ $x_1,x_2$ เป็นรากของสมการ $x^2+x-1=0$ จะได้ว่า $x_1+x_2=-1,x_1x_2=-1$ $ax^{17}+bx^{16}+1=P(x)(x^2+x-1)$ แทน $x_1,x_2$ ลงใน $ax^{17}+bx^{16}+1$ $ax_1^{17}+bx_1^{16}+1=0$........(1) $ax_2^{17}+bx_2^{16}+1=0$........(2) คูณ(1)ด้วย $x_2^{16}$ $ax_1^{17}x_2^{16}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_2^{16}=0$........(3) คูณ(2)ด้วย $x_1^{16}$ $ax_1^{16}x_2^{17}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_1^{16}=0$........(4) (3)-(4) $ax_1^{16}x_2^{16}(x_1-x_2)+(x_2^{16}-x_1^{16})=0$ $a=\dfrac{x_1^{16}-x_2^{16}}{x_1-x_2} $ <<<<< มาไงอ่ะครับ แล้ว $x_1^{16}x_2^{16}$ หายไปไหนอ่ะ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
จะได้ $1597ax-987a+610b-987bx+1=0$ $(1597a-987b)x+(-987a+610b+1)=0$ $0+0=0$ |
ขอบคุณครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:06 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha